Сфера вписана в правильную треугольную призму, высота которой равна корень из 3 см, найдите сторону основания призмы.

Если  сфера вписана в правильную треугольную призму, то радиус r этой сферы равен половине высоты призмы.r =  √3/2 см. проведём сечение сферы через её центр параллельно основанию призмы. получим окружность радиуса r, вписанная в равносторонний треугольник, который равен основанию. искомая сторона а основания призмы равна: a = 2r/tg30° = 2*(√3/2)*(1/√3) = 3 см.

теорема синусов: а/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2r отсюда,

a=sin60°×2r,b=sin15°×2r,c=sin(180-(60+15))°×2r

sтреуг=a×b×c/4r,где r-радиус круга.

20×sin60×20×sin15×20×sin105/40

sin15×sin105=½[cos(105-15)-cos(105+15)]=¼

sтреуг=100×√3/4=25√3

ответ=25√3