Углы при вершинах a и b треугольника авс равны 75 и 45 градусов., аа1 и вв1- высоты. касательная в точке с к окружности, описанной около треугольника а1в1с , пересекается с аа1 в точке к. известно, что ск=а. найдите радиус окружности, описанной около авс.

∠с=180°-∠а-∠b=60°. ab=√2aa1, т.к.  ∠abc=45°.  aa1=ca1√3,  т.к.  ∠caa1=75°-45°=30°. пусть aa1 и bb1 пересекаются в f, тогда cf⊥ab (т.к.  aa1 и bb1 - высоты), значит  ∠bcf=90°-45°=45°, откуда  ∠kcb=90°-bcf=45°, т.е.ca1=ck/√2=a/√2.  итак ab=√2·√3·a/√2=a√3. r=ab/(2sin∠c)=a√3/(2·√3/2)=a.

cos(b)=bh/bc => bc=bh/cos(b) => bc=4/cos(b)

с другой стороны

cos(x)=bh/ab => ab=bh/cos(x) = >   ab=4/cos(x)

по теореме пифагора

(ac)^2=(ab)^2+(bc)^2=16/(cos(b)^2+16/(cos(x)^2)

 

ac=4*sqrt(1/(cos(b)^2+cos(x)^2)

1) треугольник odf - равнобедренный, следовательно у него углы при основании равны.

основанием является сторона   df, т.к. против неё лежит тупой угол е=118 град., а в треугольнике не может быть больше одного тупого угла.

следовательно углы d=f=(180-118): 2=62: 2=31  град.

2)если do - высота, то треугольник dof - прямоугольный, угол dof = 90град.

    угол ofd = 31 град.

    следовательно угол odf=180-90-31=59 град.

 

ответ: 59 град