)) в тетраэдре abcd угол adc=углу bdc, угол abd=углу dab. найдите угол между прямыми ab и cd

Обозначим векторы da=a, db=b, dс=с т.к. ∠dab=∠dba, то треугольник adb - равнобедренный, т.е. |a|=|b|. кроме того, cos(adc)=(a,c)/(|a|*|c|);   cos(bdc)=(b,c)/(|b|*|c|). т.к. они равны и |a|=|b|, то (a,c)=(b,c), т.е. (a-b,c)=0, т.е. ab и dc перпендикулярны.

авс-основание пирамиды, s-вершина пирамиды, о-проекция s на основание и точка пересечения высот основания

из прямоугольного треугольника аоs

ао=asxcos60, а sо=asxsin60

ao=8x0.5=4

sо=8x√3/2=4√3 - это высота пирамиды h

ao=2/3ak, где ак-высота основания h

ак=3/2ао

ак=3/2х4=6

из правильного треугольника авс, где высота и медиана по теореме пифогора находим сторону основания а

ак²=а²-(а/2)²

а²=4/3хак²

а=4√3

площадь основания равна

s=(ah)/2

s=(4√3x6)/2=12√3

v=(sh)/3

v=(12√3x4√3)/3=48

ответ: объем пирамиды равен 48см³

авс- пр. тр-к. с = 90 гр.  в = 30 гр. а = 60 гр.  ск = кор3 - высота.

из пр.тр. вск:

вк = ск/tg30 = (кор3)*(кор3) = 3.

из пр тр. акс:

ак = ск/tg60 = (кор3)/(кор3)= 1.

гипотенуза:

ав = ак + вк = 1 + 3 = 4.

ответ: 4.