Решить из точки м проведен перпендикуляр md, равный 6 см, к плоскости квадрата abcd. наклонная mb образует с плоскостью квадрата угол 60градусов. а)докажите, что треугольники mab и mcb прямоугольные. б) найдите сторону квадрата. в)докажите, что треугольник abd является проекцией треугольника mab на плоскость квадрата, и найдите его площадь.

а)  по условию md перпендикулярна плоскости квадрата, 

аd -проекция ам на плоскость квадрата. 

сd - проекция см на плоскость квадрата. 

по  т. о 3-х перпендикулярах ма⊥ав, и мс⊥св. 

углы мав и мсв прямые,⇒  ∆ мав и  δ мсв прямоугольные. 

б) в  прямоугольном ∆ мdb катет db равен md: tg60°=6: √3=2√3

bd- гипотенуза прямоугольного равнобедренного  ∆ abd, его острые углы=45°. 

ав=вd•sin45°=2√3•√2/2=√6

в) мd перпендикулярна плоскости квадрата по условию.   

в ∆ авd катет аd является проекцией наклонной ам на плоскость квадрата. 

гипотенуза db  является проекцией мв на плоскость квадрата. 

ав - общий катет ∆ амв и δδ adb. ⇒ ∆ abd является проекцией∆ mab на плоскость квадрата. 

в) в ∆ мав по т. о 3-х перпендикулярах наклонная ма⊥ав,⇒

∆ мав прямоугольный. 

ѕ=am•ab: 2

из ∆ амd по т.пифагора ам=√(md²²+ad²²)=√(36+6)=√42

s=√42•√6=√(7•6•6)=6√7 см²

2. из свойств медиан известно, что ma< (b+c)/2 mb< (a+c)/2 mc< (a+b)/2 сложим эти неравенства

ma+mb+mc< (b+c)/2+(a+c)/2+(a+b)/2=a+b+c=p

то есть, сумма длин медиан меньше периметра

пусть abc – треугольник, а точка o – точка пересечения медиан, тогда сумма двух сторо треугольника больше третьей

bo+oa> ba

ao+oc> ac

co+ob> cb

сложим эти неравенства

2*bo+2*ao+2*oc> ba+ac+cb

учитывая то, что

ao=2ma/3

bo=2mb/3

co=2mc/3

получим

2*2*ma/3+2*2*mb/3+2*2mc/3=ba+ac+cb

(4/3)*(ma+mb+mc)=ba+ac+cb

(ma+mb+mc)=(3/4)*(ba+ac+cb)

х-катет, х/8=tg60, x=8tg60=8*корень из трех. s=8*8*корень из 3/2=32*корень из 3 см в квадрате.