Диагональ трапеции лежит на биссектрисе её острого угла. докажите, что боковая сторона трапеции равна меньшему основанию.

1. abcd-трапеция, ав и cd- основания. 2. свойство биссектрисы острого угла трапеции (д-во): 1) ∠daf (так как af — биссектриса ∠bad по условию). 2) ∠daf=∠bfa (как внутренние накрест лежащие при ad∥bc и секущей af). 3) следовательно, ∠baf=∠bfa. 4) следовательно, треугольник abf — равнобедренный с основанием af (по признаку равнобедренного треугольника). 5) следовательно, ab=bf. тк биссектрисса и диагональ , то получается что ab=bc

решение

проведем мк - апофема

по теореме пифагора mk=√(ma²-(ab/2)²)=√(12²-3√2²)=√128=6√2 см

а) sбок=1/2pa=1/2*4*6√2*8√2=192 см²

найдем высоту пирамиды mo: mo=√(mk²-(ab/2))=√(8√2²-3√2²)=√110 см

б) v=1/3sh=1/3*(6√2)²*√110=24√110 см³

в)  угол наклона боковой грани к плоскости основания cosmko=ko/mk=3√2/8√2=3/8

г)  угол между боковым ребром и плоскостью основания mao: cosmao=oa/am=6/12=1/2

mao=60 градусов

д)  скалярное произведение векторов (ав+ад)ам=ac*am

=|ac|*|am|cosmao=12*12*1/2=72 см²

е)радиус описанной сферы равен ao1=o1c

рассмотрим треугольник амс - равносторонний: радиус описанной окружности r=12*√3/3=4√3

тогда площадь сферы:   s=4πr²=4π*(4√3)²=192π см²

< b=180-< a-< c=80 < a=< c т к авс рабнобедренный.

т к ад бисектриса то < bad=< cad=50/2=25

< adc=180-< c-< dac=180-25-50=105