Диагонали ромба равны d1 и d2. найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.

Обозначим стороны ромба abcd. ас=d1 - меньшая диагональ. bd=d2.  стороны четырёхугольника - efkl. ef проходит через стороны ab и bc ромба.      ef  средняя  линия треугольника abc. отсюда ef = lk = ас/2 =  d1/2. fk -  средняя линия треугольника bcd. отсюда fk = el = d2/2. поэтому периметр p = 2 *  (ef + fk) = 2 * (d1/2 + d2/2) = d1 + d2.

треугольник равнобедренный, значит по свойству равноб. треугольника углы при основании равны.

а)обозначим угол противолежащий основанию через х, значит углы при основании соответственно равны 2х и 2х, сумма всех углов в треугольнике равна 180 град., составим ур-ие: х+2х+2х=180, решив его получаем, что х=36 град., значит углы при вершине 36град, а уголы при основании равны 36*2=72 град.

б)пусть угол при основании х град., тогда смежный с ним угол равен 3х, т.к. сумма смежных углов 180 град., то получаем х+3х=180, отсюда х=45 град., следовательно углы при основании по 45 град, а третий угол 90 град. (по теореме о сумме углов треугольника).

розвязання: нехай даний трикутник авс з основою ас і бічними сторонами ав=вс

ak, cf - медіани, проведені до бічних сторін

 

бічні сторони трикутника рівні за означенням рівнобедреного трикутника

ав=вс, а отже будуть рівні їі їт половини 1\2вс=1\2аb, тобто

ck=af

 

кути при основі трикутника рівні (властивість рівнобедреного трикутника),

тобто кут а=кут с

 

трикутник асf=cak за двома сторонами і кутом між ними відповідно

ck=af, кут а=кут с, ас=са).

 

з рівності трикутників випливає рівність медіан сf=akю доведено