Дана трапеция, в которую можно вписать окружность и около которой можно описать окружность. а) докажите, что проекция диагонали этой трапеции на большее основание равно боковой стороне. б) найдите расстояние меду центрами вписанной и описанной окружностей, если основания трапеции равны 3 и 27.

А) в равнобедренной трапеции высота из вершины меньшего основания b  делит большее основание a  на отрезки (a - b)/2 и (a + b)/2; это просто увидеть,  если провести высоты из обеих  вершин. второй отрезок (больший) как раз и есть проекция диагонали на основание (меньший отрезок - это проекция боковой стороны на основание). поскольку в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона c равна полусумме оснований. а) доказано. б) легко найти с = (27 +  3)/2 = 15; проекция c на a равна (27 - 3)/2 = 12; откуда высота трапеции 9; (получился египетский треугольник). кажется, что тут нужно искать значения радиусов (радиус вписанной окружности уже найден, он равен 9/2) и как-то с ними потом разбираться. но всё куда проще. центры обеих окружностей лежат на прямой n, перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины. при этом центр вписанной окружности лежит на средней линии. если через середину боковой стороны провести перпендикуляр, то он пересечет прямую n в центре описанной окружности. в силу очевидного подобия тут тоже получается египетский треугольник (его катеты - искомое расстояние и половина средней линии трапеции), и нужное расстояние равно (15/2)*12/9 = 10;

пусть abcdef - данній шестиугольник с центром o.

центральній угол правильного шестиугольника 360\6=60 градусов

угол поворота вокруг центра 60 градусов, значит при повороте

вершина a перейдет в точку b

вершина b перейдет в точку c

вершина c перейдет в точку d

вершина d перейдет в точку e

вершина e перейдет в точку f

вершина f перейдет в точку a, а значит

шестиугольник перейдет в самого себя. доказано

1)av - биссектриса

по св-ву бисскетрисы => что ac\ab = cv\vb = 1\2

т.к. ab = 2ac => что угол abc = 30 градусов, угол cab = 60 градусов

ab = bc\cos30 = 12\корень из 3

ac = 6\корень из 3

2)cm - медиана

рассмотрим треугольник cam

am = 6\корень из 3 = ac

по теореме косинусов находим медиану

3)пусть ck - высота

рассмотрим треугольник akc

ak = accos60 = 3\корень из 3

kb = ab - ak = 3

kc^2 = ak kb = 9 корней из 3

4)sabc = cbac\2 = 18\корней из 3

p=(9+3корня из 3)\корень из 3

r = s\p = 6\(6+корень из 3)

r = abc\4s = 2\корень из 3