Впрямоугольнике abcd сторона ad равна 4. на стороне ab выбрана точка m так, что am: mb=3: 1. вторая сторона прямоугольника имеет длину такую, что в четырёхугольник amcd можно вписать окружность. найдите расстояние от центра этой окружности до вершины b.

Четырёхугольник амсд  является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны: ам+сд=ад+мспусть ам=3х, мв=х, ад=вс=4, ав=сд=ам+мв=4хиз прямоугольного  δмвс: мс=√(вс²+мв²)=√(16+х²) подставляем: 3х+4х=4+√(16+х²) (7х-4)²=16+х² 49х²-56х+16=16+х² 48х²-56х=0 х₁=0 (не подходит) х₂=7/6 значит  ам=7/2, мв=7/6, ав=сд=14/3, мс=√(16+49/36)=25/6 площадь sмвс=мв*вс/2=7/6*4/2=7/3 площадь  sавсд=ав*вс=14/3*4=56/3 площадь  sамсд=sавсд-sмвс=56/3-7/3=49/3 полупериметр амсд  р=(ам+мс+сд+ад)/2=(7/2+25/6+14/3+4)/2=49/6 радиус вписанной окружности r=sамсд/p=49/3 / 49/6=2 опустим перпендикуляр из центра окружности о на сторонй ам: ок=2. рассмотрим прямоугольный  δокв: кв=ав-2=14/3-2=8/3 ов²=кв²+ок²=64/9+4=100/9 ов=10/3

нужно решить систему.

x+2y+3=0           x+2y=-3 доумнож(-4)  -4x-8y=12      y=-2             x=1

4x+5y+6=0         4x+5y=-6                     4x+5y=-6 x+2y+3=0     y=-2

-3y=6

y=-2

пусть сторона треугольника равна x, поскольку треугольник равносторонний, то

 

x^2-(x/2)^2=(12)^2

x^2-x^2/4=144

3x^2/4=144

x^2=192

x=8*sqrt(3) – сторона треугольника

равностороний треугольник, образованний средними линиями будет иметь стороны

равными 8*sqrt(3)/2=4*sqrt(3).  высота этого треугольника равна из теоремы пифагора

h^2= (4*sqrt(3))^2-(4*sqrt(3)/2)^2=48-12=36

h=6

 

s=a*h/2 = 4*sqrt(3)*6/2=12*sqrt(3)