)хорда основания конуса равна его образующей и равна l. найдите площадь полной поверхности конуса, если данная хорда стягивает дугу в 90 градусов.

полная площадь поверхности круглого конуса  равна сумме площадей боковой поверхности конуса и его основания. основанием конуса является  круг  и его площадь вычисляется по  формуле площади круга: s полная  =π  r  l+π  r2=π  r  (r+  l)

если соединить концы хорды с центром круга в основании конуса, получим равнобедренный прямоугольный треугольник, катетами в котором яляются радиусы основания, а гипотенузой - хорда, которая по условию равна образующей l.

по формуле гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника  l=r√2, r=l: √2

подставим значение радиусаr=l: √2  в формулу полной поверхности конуса:

s= π(l: √2)²+l· π l: √2  = πl²: 2 +πl²√2: 2=πl²(1+√2): 2 

треугольник abc.

центр вписанной окружности о лежит на пересечении биссектрисс ak, bf, cn.

т.к. треугольник правильный, его биссектриссы - медианы и высоты.

искомый радиус это отрезки ok=of=on, они равны 1/3 биссектриссы (по св-ву медиан, пересекаются и делятся в отношении 2: 1 считая от вершины)

радиус равен 21/3=7

авсд -ромб

< авс=60

т.о пересечение диагоналей

ас -малая диагональ =2*оа=2*авsin(< авс/2)=2*10√3*sin30=10√3

плоскость параллельна ас, т.е. проекция ас на плоскость =10√3

во=авcos(< авс/2)=10√3*(√3/2)=15

вд=30

он -высота на плоскость =9

вн²=во²-он²=225-81=144

вн=12 -проекция на плоскость во

проекция на плоскость вд =вн*2=24

отв: 10√3 и 24