Площа перерізу куба площиною, яка проходить через діагоналі верхньої та нижньої основи куба, дорівнює 4√2. обчислити об'єм.

Пусть нижнее основание куба авсд, верхнее соответственно а1в1с1д1. ребро куба= а. сечение куба плоскостью, проходящей через диагонали верхнего и нижнего оснований, прямоугольник вв1д1 д, со сторонами вв1=а, вд=а*√2 [ (вд)^2=(ав)^2+(ад)^2]. s(сеч)=а*а√2. по условию s(сеч)=4√2.=> (а^2)*√2=4√2, а^2=4, а=2. v=a^3, v=8см.куб

проводим ск-высота.

рассмотрим треугольник скд - прямоугольный.

пусть кд=х, тогда сд=2х (катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы).

по теореме пифагора: ск²=сд²-кд²

                                    ск²=4х²-х²=3х²

                                    ск=х√3 

ав=ск=х√3 

 

так как в трапецию можно вписать окружность, сумма основ равна сумме боковых сторон. составляем уравнение.

ав+сд=вс+ад

х√3+2х=8-х+8

х=16/(√3+3)

 

площадь трапеции s=1/2 (вс+ад)·ск

 

ответ. 64√3 / 3 

в возможны 2 варианта: когда вершина угла лежит на меньшей дугеи когда вершина угла лежит на большей дуге.

в первом случае треугольник оав будет равносторонним (все стороны равны по а), поэтому центральный угол равен 60°, а поскольку вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, то он равен 30°.

во втором случае центральный угол будет равен 360 - 60 = 300°, поэтому вписанный угол будет равен  300 / 2 = 150°.