Восновании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5, 6 та 8 см, а все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. вычислите объём пирамиды

как всегда, если ребра пирамиды равнонаклонены к основанию, то вершина пирамиды равноудалена от вершин основания и проектируется в центр описанной вокруг основания окружности. угол наклона 45 градусов, поэтому высота пирамиды равна радиусу описанной вокруг основания окружности (высота пирамиды, боковая сторона и этот радиус образуют равнобедренный прямоугольный треугольник).

таким образом, кажется, что для решения надо вычислить радиус описанной окружности для треугольника со сторонами 5,6 и 8. однако все оказывается проще : ))

есть способ, не затрагивающий извилин - вычислить площадь основания по формуле герона (все равно площадь нам нужна для вычисления объема), а затем радиус по известной формуле r = abc/4s. этот способ ничем не плох, если вы умеете эти формулы (включая герона) выводить.

но в данном случае - дело в том, что нам надо вычислить не радиус, а объем пирамиды, равный, как мы уже поняли 

v = r*s/3; (не забыли, высота пирамиды равна r :

отсюда v = abc/12; :

ответ v = 20;

1)треуг. равны по 3 сторонам: оо1-общая, оа=ов как радиусы одной окр, ао1=во1- как радиусы другой.

2)щ ни равнобедренные т.к. по две стороны их равны как радиусы окр.

авсд основание

р вершина

о  середина стороны  основания

ав=18

ро=0,5*ав/cos45=9√2

sбок=4*0,5*ро*ав=2*9√2*18=324√2