Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. высота пирамиды равна а корень из 3.найти: сторону основания. угол между боковой гранью и основанием. площадь поверхности пирамиды. расстояние от центра
основания пирамиды до плоскости боковой грани

пирамида sabcd. апофема sh - высота треугольника sab. o - точка пересечения диагоналей основания, so - высота пирамиды. 

1) рассмотрим прямоугольный треугольник ohs. по теореме пифагора:

oh² = sh² - so²

oh² = 4a² - 3a²

oh = a

по теореме фалеса: bc = 2oh = 2a

сторона основания  2a

2) sho - линейный угол двугранного угла sabo. найдя его, найдем и sabo, следовательно угол между боковой гранью и основанием. 

из прямоугольного треугольника sho:

sin< sho = so/sh

sin< sho = a√3/2a =  √3/2

< sho = 60°

угол между боковой гранью и основанием 60°

3) s = sбок + sосн

в основании квадрат, значит sосн = ab² = (2a)² = 4a²

sбок = pосн*sh/2

pосн = 4*2a = 8a

sбок = 8a*2a/2 = 8a²

s = 8a² + 4a² = 12a²

площадь 12а²

4) из точки о (это и есть центр основания) проводим перпендикуляр к апофеме sh, обозначаем h1. sh1 - расстояние от центра основания до плоскости боковой грани. 

из прямоугольного треугольника oh1h:

sin< sho = oh1/oh

но sin< sho =  √3/2

√3/2 = oh1/a

oh1 = a√3/2

ответы: a;   60°;   12а²;   a√3/2

v=1/4*12=3.

пояснение: очевидно, что объем призмы abca1b1c1 вдвое меньше объема параллелепипеда, а объем пирамиды вдвое меньше объема призмы.

sп=2(ab+bc+ac)

пусть х=1 часть,

тогда а=х, b=2x, c=3x

352=2(x*2x+2x*3x+x*3x)

352=22x²

x²=16

x=4

a=4, b=8,c=12