Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром 10 см

Тетраэдр-пирамида у которого все ребра равны, тетраэдр кавс, к-вершина, ав=вс=ас=ка=кв=кс=10, проводим высоту вн на ас, вн=медиане=биссектрисе, о-центр пирамиды - точка пересечения медиан=высот=биссектрис, вн=ав*корень3/2=10*корень3/2=5*корень3, медианы в точке пересечения делятся в отношении 2/1 начиная от вершины, во=2/3вн=2/3* 5*корень3=10*корень3/3, треугольник ков прямоугольный, ко-высота тетраэдра=корень(кв в квадрате-во в квадрате)=корень(100-300/9)=10*корень6/3

решение

проведем мк - апофема

по теореме пифагора mk=√(ma²-(ab/2)²)=√(12²-3√2²)=√128=6√2 см

а) sбок=1/2pa=1/2*4*6√2*8√2=192 см²

найдем высоту пирамиды mo: mo=√(mk²-(ab/2))=√(8√2²-3√2²)=√110 см

б) v=1/3sh=1/3*(6√2)²*√110=24√110 см³

в)  угол наклона боковой грани к плоскости основания cosmko=ko/mk=3√2/8√2=3/8

г)  угол между боковым ребром и плоскостью основания mao: cosmao=oa/am=6/12=1/2

mao=60 градусов

д)  скалярное произведение векторов (ав+ад)ам=ac*am

=|ac|*|am|cosmao=12*12*1/2=72 см²

е)радиус описанной сферы равен ao1=o1c

рассмотрим треугольник амс - равносторонний: радиус описанной окружности r=12*√3/3=4√3

тогда площадь сферы:   s=4πr²=4π*(4√3)²=192π см²

Решение в