Боковые стороны трапеции равны 6 и 10. известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, а средняя линия делит её на части, площади которых относятся как 5: 11. найдите длину большего основания трапеции.

пусть основания а и b

по свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны(если неизвестно, откуда это - это следствие того, что касательные из одной точки к окружности равны). поэтому 

a+b=16; (a+b)/2 = 8;

средняя линяя дели трапецию на две трапеции с равными высотами и основаниями a,8 и 8,b, то есть отношение их площадей равно отношению сумм оснований (ну, полусумм: ) без разницы)

(b+8)/(a+8) = 5/11;

раз нам надо только большее основние а, полагаем b = 16 - a, имеем

(24 - а)/(а + 8) = 5/11;

а = 14;  

а чему равно b, не скажу :

если нужно построить, то:

проводим из 2х любых вершин треугольника серединные перпендикуляры, точка пересечения серединных перпендикуляров я-я центром описанной окружности (т.е. точка о). затем строите окружность с центром о и радиусом от точки о до любой из вершин.

решение: моделью будет прямоугольная трапеция abcd с основаниями ab=5 м cd=7м и боковой стороной bc=5 м. нужно найти чему равно ad

проведем высоту ck к основанию ав, тогда

bk=ab-ak=ab-cd=7-5=2 м

с прямоугольного треугольника bck по теореме пифагора

bk^2=bc^2-ak^2=5^2-2^2=21

вк=корень(21)

ad=bk=корень(21) (приблизительно 4.58 м)

ответ: корень(21)