1.84. Любой выпуклый четырехугольник, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом. Докажите этот признак ромба

BD - биссектриса углов B и D.

Треугольники ABD и CBD равны по стороне BD и прилежащим углам

=> углы A и C равны.

Аналогично углы B и D равны => равны их половины.

∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB

Тогда треугольники ABD и CBD - равные равнобедренные.

Доказали, что в четырехугольнике ABCD все стороны равны.

Равенство противоположных сторон - признак параллелограмма,

но на всякий случай:

∠ABD=∠CDB => AB||CD по накрест лежащим. Аналогично BC||AD.

авс треугольник

ав=вс

ас=12

т.о пересечение серединных перпендикуляров или ц. описанной окр. около δ

вк -высота на ас, совпадает с ок=8

ов=ос=оа=√(ок²+кс²)=√(64+36)=√100=10

sавс=вк*ас/2=(во+ок)*ас/2=(10+8)*12/2=108 см²

в треугольнике авс < a=120*.

обозначим < b=a, тогда < c=180*-120*-a=60*-a.

внешний угол при вершине в равен 180*-а,

внешний угол при вершине с равен 180*-(60*-а)=120*+а.

в треугольнике овс < obc=(180*-a): 2=90*-a/2,

                                                            < ocb=(120*+a): 2=60*+a/2.

< вoс=180*-(90*-a/*+a/2)=180*-90*+a/2-60*-a/2=30*

ответ: 30*