Известно, что в правильной четырехугольной призме KPQFMABN высоты KM, AP, BQ, FN равны 10, а ребро основания - 12. Найдите угол между прямыми AK и PB.

радиус описанной окружности вокруг правильного многоугольника равен

r=a/(2sin(360/2n))

для 25-угольника

r=a/2sin(7,2°)

площадь круга равна

s1=pi*r^2=a^2*pi/4*(sin(7,2°))^2

радиус вписанной окружности в правильный многоугольник равен

r=a/(2tg(360/2n))

для 25-угольника

r=a/2tg(7,2°)

площадь круга равна

s2=pi*r^2=a^2*pi/4(tg(7,2°))^2

s1-s2=9*pi

a^2*pi/4*(sin(7,2°))^2-a^2*pi/4*(tg(7,2°))^2=9*pi

a^2*((tg(7,2))^2+(sin(7,2))^2)/4*(sin(7,2)*cos(7,2))^2=9

a^2=36*(sin(7,2)*cos(7,2))^2/(tg(7,2))^2+(sin(7,2))^2)

a=6*sin(7,2)*cos(7,2)/sqrt(tg(7,2))^2+(sin(7,2))^2))

a=3*sin(15)/sqrt(tg(7,2))^2+(sin(7,2))^2))

и периметр равен

р=25*3*sin(15)/sqrt(tg(7,2))^2+(sin(7,2))^2))=

=75*sin(15)/sqrt(tg(7,2))^2+(sin(7,2))^2))

из рисунка сразу: угол всм = 180 - 50 - 40 = 90 гр.

углы свм и смв равны соответственно 50 и 40 гр, как накрест лежащие двум данным в углам.

аналогичные углы и в тр. авс:

вас = 40, авс = 90.

ответ: 40, 50, 90 град.

нехай одна сторона трикутника дорівнює х. тоді друга сторона дорівнює 8 - х згідно з теоремою косинусів

7² = 49 = х² + (8 - х)² - 2 * х * (8 - х) * cos 120° = x² + (8 - x)² + x * (8 - x) =

x² + 64 - 16 * x + x² + 8 * x - x² = x² - 8 * x + 64

тоді  х² - 8 * х + 15 = 0

                х₁ = 3       х₂ = 5

отже сторони трикутника  3, 5 та 7 см, його площа

s = ½ * 3 * 5 * sin 120° = 7,5 * √ 3 / 2 = 15 * √ 3 / 4 см²

радіус вписаного кола

r = 2 * s / (a + b + c) = 2 * (15 * √ 3 / 4) / (3 + 5 + 7) = √ 3 / 2 см.