В треугольнике ABC чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P. Известно, что AC1:C1B=2:1, AB1:B1C=1:3. Найдите отношение AP:PA1.

1) тр-ки нрв и рсв имеют общую высоту вк, плущенную из тоски в на сн, тогда  s ( рсв) / s(нрв) = 0,5 hp*bk / 0,5 pc*bk = 18/ 24 или  нр/ рс = 18/24 = 3/4  2) тр-ки врн и срд подобны с коэффициентом подобия 3/4.  отношение площадей подобных тр-ков равно квадрату коэффициента подобия, тогда  18/ s( срд) = 9/16 отсюда  s( срд) = 32  3) s( всд) = 24+32 =56  4) s(авсд) = 2s( всд) = 56*2 = 112  ответ 112

пусть abcd- прямоугольник, т.o - точка пересечения диагоналей, пусть ok- перпендикуляр на ad, а om- перпендикуляр на ab, пусть ok = x, тогда om=4+x

по условию

      2*(2x+2(x+4))=56

      2x+2(x+4)=28

      4x+8=28 => 4x=20 => x=5

тогда

      ok=5 и om=5+4=9

ad=2*mo => ad=18

ab=2*ok=10

s=ad*ab=18*10=180 

если построить эти две хорды, а затем соединить точки перечения хорд с центром окружности то получится ромб со сторонами равными радиусу и меньшей диагональю также равно радиусу. следовательно, меньшие углы 60 градусов, а искомый - 120

если нужно пришлю рисунок, на котором это все видно.