Около правильного шестиугольника со стороной, равной 1, описана окружность. найдите сумму квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин шестиугольника.

Решение: пусть    abcdep- вписанный шестиугольник,  m- произвольная точка окружности.    тогда треугольники  pmc,  amd  и  bme  прямоугольные, так как их соответствующие углы при вершине  m  вписаны и опираются на диаметр. поэтому  откуда получаем, что   

Решаем через теорему пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов а^2=b^2+c^2 где а-гипотенуза, в,с-катеты из этого следует что нам дан один катет и гипотенуза 13^2=12^2+х^2 169=144+х^2 х^2=169-144 х^2=25 х=корень квадратный из 25 х=5 ответ: катет равен 5

треугольники вкм и bkn равны по стороне и двум прилежащим углам.

значит bm = bn. значит тр-ки bmn и авс подобны по 1 признаку подобия(по 2-м пропорциональным сторонам и углу между ними.)

значит у них равны все углы, то есть mn||ас, значит mn перпендикулярно вк,

что и требовалось доказать.

угол bnk = углу bmk = 110 град. (из равенства тех же тр-ов: bkm и bkn).