1. трапеция авсд (ад и вс- основания) расположена вне плоскости альфа. диагонали трапеции параллельны плоскости. через вершины а и в проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость альфа в точках е и ф соответственно. докажите, что еавф- параллелограмм. постройте рисунок 2. на рисунке 1 плоскости альфа и бета параллельны. прямая а пересекает плоскости альфа и бета соответственно в точках а и в, а прямая б- в точках с и д. каково взаимное положение прямых а и б? поясните. 3. дан параллелипипед авсда1в1с1д1, все грани которого- прямоугольники , ад=4, дс=8, сс1=6. постройте сечение параллелипипеда плоскостью, проходящей через середину ребра дс и параллельной плоскости ав1с1, и найдите периметр сечения.

1) 

диагонали трапеции - пересекаются . поскольку они параллельны плоскости α, следовательно,  плоскость, в которой они лежат, параллельна плоскости α, и все стороны трапеции также параллельны плоскости α. 

параллельные прямые еа и вф плоскость. если две параллельные плоскости пересечены третьей, то  линии  их пересечения параллельны.  ⇒ ав||еф, ае||вф по условию ⇒ в четырехугольнике авфе противоположные стороны параллельны. авфе - параллелограмм. 

2) 

данная без нужного рисунка вполне может остаться без решения. 

прямые, пересекающие параллельные плоскости,  могут:    

пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися. 

через две параллельные или  через две пересекающиеся прямые, можно провести плоскость, притом только одну.  

  если две параллельные плоскости   (α  и β )  пересечены третьей, то  линии их пересечения параллельны. и тогда на рисунке в любой проекции они будут параллельны (или совпадут). на данном рисунке ас и db не параллельны. следовательно, точки а, с, в и д не лежат в одной плоскости, а прямые a и b не пересекаются и не параллельны. они - скрещивающиеся. 

3)

так как все грани параллелепипеда прямоугольники, наклонные в1а и с1д  перпендикулярны ад, и  адс1в1 - прямоугольник. 

пусть точка м - середина сд. 

проведем мк║дс1, мн║ад и ке║||в1с1. 

нм=ке ( параллельны и равны равным сторонам равных граней). км=кн, параллельны диагоналям параллельных граней и делят ребра сс1 и вв1 пополам.   

в прямоугольном треугольнике ксм  стороны см=8: 2=4, кс=6: 2=3, треугольник ксм - египетский и км=5

периметр - сумма длин всех сторон многоугольника. 

р сечения =2•(нм+км)=2•(4+5)=18 (ед. длины)

решается по теореме синусов: сторона/на синус противоположного угла=др.стороне/противоположный угол=сторона/противоположный угол:

де= 5кор из2/2кор из 2=10

по теор косинусов:

5 в квадр +7 в квадр - 2*5*7*кос угла=корень из39

угол dbc = 180-c-bdc=180-60-60=60, тогда треугольник bdc - равносторонний (bd=dc=bc)

так как угол abd=30, то угол b=30+60=90.

угол a=180-90-60=30 градусов,

то треуг abd- равнобедренный и ad=db, тогда ad= bc, так как  треугольник bdc - равносторонний

найдем сторону ab по теореме пифагора ab=√(4bc²-bc²)=bc√3

периметр  δabc=ab+ac+bc=bc√3+2bc+bc=bc(3+√3)≈4.73bc  < 5bc