ABCD-трапеция. Прямые BB1 и CC1 перпендикулярны плоскости ABC. AB = CD = 15. S (AB1C1D) = 108*корень из трёх. Найдите угол между плоскостями AB1C1

строим высоту ромба. получаем треугольник abm- прямоугольный( т.к.    bm - высота). угол а = 60, угол     m=90, тогда      b = 90-60 = 30. в прямоугольном треугольнике   катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы. гипотенуза равна а, тогда аm   = а/2. отсюда по т.пифагора    bm(высота) в квадрате =а в квадрате - (     а/2) в квадрате  , отсюда высота ромба равна   а корней из трех делить на два.

что касается пункта б - ответ у меня не совпадает - но вот моя идея. рассмотрим треугольник add1   - он прямоугольный т.к прямой параллелепипед по условию. отсюда    а = 60, угол     d=90, тогда      d1 = 90-60 = 30     в прямоугольном треугольнике   катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы. катет =а, то гипотенуза равна 2а, тогда высота параллепипеда в квадрате = 2а в квадрате - а в квадрате равно3*а в квадрате , отсюда высота равна а корень из 3..  

площадь боковой поверхности равна сумме всех сторон   параллепипеда - их 4 штуки. площадь одной   стороны равны а в квадрате. отсюда вся боковая поверхность равна   4 а квадрат.

вся поверхность равна сумме боковой поверхности + 2 площади основания. площадь основания = сторона * высоту= а* а корней из трех делить на два,   итого    4 а квадрат + 2*  а* а корней из трех делить на два   = 4 а квадрат + а квадрат корень из трех.  

авс -треугольник

а=60

в=40

с=80

описанная окр. это пересечение серединных перпендикуляров в т.о, т.е δаво всо соа равнобедренные.

< аво=х< сво=у

< асо=z

составим систему

х+у=40

х+z=80

z+у=60, решаем вычетаем первое из второго и складываем с трерьим

2z=100

z=50

х=30

у=10

< аов=180-2у=160° -дуга ав

< вос=180-2х=120° -дуга вс

< соа=180-2z=80° -дуга ас

нехай авсд - дана трапеція, ав=сд=5 см, вс=6 см, ад=12см.

1. проводимо вк-висота.

2. розглянемо δакв - прямокутний.

ак=(ад-вс)/2=(12-6)/2=3(см)

вк²+ак²=ав² - (за теоремою піфагора)

вк²=ав²-ак²=25-9=16

вк=4 см.

3.

(см²)

відповідь. s=36 см² 

пусть угол аов = р = arcsin(40/41). cosp = 9/41.

из равнобедр тр-ка аов найдем сторону ав:

ав = 2*2,5*tg(p/2) = 5*(sinp/(1+cosp)) = 5*4/5 = 4

ld = cd/3 = 4/3.

вк = 2, кс = 3.

а)  теперь поместим начало координат в вершину а прямоугольника. расставим координаты необходимых точек:

в(0; 4),   к(2; 4), l(5; 4/3), а(0; 0).

теперь распишем координаты необходимых в векторов:

ак" : (2; 4),   lb": (-5; 8/3).

тогда вектор (2ak" - lb"): (4+5; 8-(8/3)): (9; 16/3)

    (2ak" - lb"):     (9; 16/3).

б)    будем искать cosq, где  q - угол между векторами ак" и bl", через скалярное произведение этих векторов.

сosq = (ак" bl") / |ak"||bl"|.

ак" : (2; 4),   bl": (5; -8/3).  (ак" bl") = 2*5 + 4*(-8/3) = - 2/3

|ak"| = кор( 4 + 16) = 2кор5

|bl"| = кор(25 +   64/9) = 17/3

cosq = -(2/3) /[(2кор5) *(17/3) = - 1/17кор5

в итоге острый угол между векторами bl" и ak" составляет :

  arccos (1/(17кор5))