Вокружности длиной 75 пи проведена хорда, стягивающая дугу в 120 градусов . вычислить длину данных дуги хорды.

пусть ab - хорда, o - центр окружности. тогда треугольник aob равнобедренный с углами 120, 30, 30. длина окружности равна 75pi, тогда радиус равен 75/2. ao=bo=75/2. проводим высоту oh, тогда из треугольника aoh, углы которого равны 30, 60, 90, находим ah, ah=75sqrt(3)/4, тогда ab=75sqrt(3)/2.

1) площадь треуголькика вычисляется по формуле: s=ab* sin α/2

sin α= sin 60°=√3/2.    s=9*24*√3/4=54√3.

2) далее найдём третью сторону по теореме косинусов: с²=а²+ b² - 2ab * сos  α = 9² + 24² -2*9*24* 1/2= 81 + 576 - 216= 441.   c²=441.   c=21.

3) периметр равен сумме сторон 9+24+21=54.

ответ: 54    и    54√3.

пусть δ abc – равнобедренный с основанием ab, и cd – медиана, проведенная к основанию. в треугольниках cad и cbd углы cad и cbd равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны ac и bc равны по определению равнобедренного треугольника, стороны ad и bd равны, потому что d – середина отрезка ab. отсюда получаем, что δ acd = δ bcd. из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: acd = bcd, adc = bdc. из первого равенства следует, что cd – биссектриса. углы adc и bdc смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому cd – высота треугольника. теорема доказана.