Задача АВ||α, ΑΑ1⊥α и ВВ1⊥α. ΑΒ=ΑΑ1=5,4см . Определите вид четырёхугольника АВВ1А1 и найти его периметр.

правильный шестиугольник состоит из 6-ти правильных треугоьников, сторона каждого трегольника равна стороне 6-ти угольника

площадь правильно треугольника

s=v3*a*а/4

площадь правильного 6-ти угольника

s=6*v3*a*а/4=6*9*9v3/4=121,5v3 

v-корень квадратный 

в прав. 4-уг. пирамиде sabcd проведем высоту боковой грани scd - sf и высоту самой пирамиды so. 

треугольник sof - прямоугольный. so=2кор3, угол sfo = 60 град.

тогда sf = so/sin60 = 4 см. fo = so/tg60 = 2. 

так как в основании - квадрат, его сторона равна 2fo = 4. полная поверхность пирамиды складывается из площади квадрата со стороной 4 и 4-х площадей треугольников с основанием 4 и высотой 4.

s = 16 + 4*(4*4/2) = 48 см квад

проведем в тр. авс биссектрисы углов а и в: ак и вм. о - точка пересечения биссектрис.. пусть угол, смежный углу с -  х., а острый угол между биссектрисами: вок = аом = а.

найдем углы 4-угольника мокс:

по свойству внешнего угла тр-ка:

окс = а + в/2 (внешний к тр. вок)

омс = а + а/2 (внешний к тр. аок)

мок = 180-а (смежный с углом а)

еще пригодится соотношение между углами а и в  и а:

а = а/2  +  в/2 (внешний к тр. аов)                                                            (1)

итак угол мск 4-ника мокс, с одной стороны равен 180 - х (как смежный углу х), с другой стороны: мск = 360 - (окс+омс+мок) ( так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр). получим уравнение:

360-(а+в/2+а+а/2+180-а) = 180-х

180 - а - (а+в)/2 = 180 - х

и с учетом (1) получим:

-2а = -х

х = 2а,    что и требовалось доказать

p.s.если опять не получится здесь, чертеж вышлю на почту.

согласно теореме синусов для треугольника abd

sin adb          sin bad    

=

      ab                        bd

в данном случае

    4 / 5            sin bad

=   ,    откуда  sin bad = 4 / √41

      √ 41                  5

угол  adb - тупой, угол  bad - острый, поэтому

cos adb = - √(1 - (4/5)²) = -3/5

cos bad = √(1 - (4/√41)²) = 5/√41

sin abd = sin(adb + bad) = sin adb * cos bad + cos adb * sin bad =

= 4/5 * 5/√41 + (-3/5) * 4/√41 = (20 - 12) / (5 * √41) = 8 / (5 * √41)

площади треугольников  abd  и  cbd  равны, поэтому площадь

параллелограмма  abcd

s = ab * bd * sin abd = 5 * √41 * (8 / (5 * √41)) = 8