Для прямоугольного параллелепипеда ABCDA1,В1, C1, D1 , у которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 3, найдите косинус угла между плоскостями АВС и: а) АВС1 ; б) ADC1​

площадь ромба = 12 * 16 / 2 = 96 кв. см  сторона ромба по теореме пифагора корень((12/2)^2 + (16/2)^2) = 10 cм высота ромба = 96 / 10 = 9,6 см радиус вписанной коружности = 9,6/2 = 4,8 см расстояние от точки м до плоскости - это катет в треугольнике, где гипотенузой является расстояние до стороны ромба, а второй катет - это радиус вписанной окружности корень(8^2 - 4,8^2) = 6,4 см

угол вае=углу дае (ае - биссектриса)

угол веа =углу дае (накрестлежащие углы при вс // ад, ае - секущ)

=> угол вае = углу веа

=> треугольник аве - равнобедренный, ве=ав=9 см

вс=ад=15 см (противопол.стороны параллелограмма авсд)

ес=вс-ве=15-9=6 см

проведём ld параллельно ck.

применим теорему про пропорциональные отрезки:

kd: db=cl: lb=1: 3;

ak: kd=ak: (bk: 4)=6: 1;

at: tl=ak: kd=6: 1

проведём le параллельно bm.

тогда из той же теоремы:

me: ec=3: 1;

am: me=6: 1(из уже доказанного соотношения);

а отсюда:

am: mc=18: 4=9: 2.

в принципе, это соотношение можно получить и из теоремы чевы.

проведём mf параллельно ck.

bt: tm=bk: kf=2: (3*2/9)=3: 1.

узнаём нужное, прибавив к tm bt:

bt: bm=bt: (tm+bt)=3: (3+1)=3: 4.

ответ: а) 6: 1; б) 3: 4. 

авс,   из условия имеем ав = с, вс = с/2, ас = 3с/4.

найдем cos c:

cosc = (a^2+b^2-c^2) / (2ab) = (9/16   +   1/4   -   1)/(2*3/8) = - 1/4

(угол с - тупой).   тогда sin c = кор(1-cos^2 c) = (кор15)/4

по теореме синусов найдем sin a:

sin a = (a/c)sin c = (кор15)/8

  по свойству биссектрисы вн. угла тр-ка (со - биссектриса):

ао/ов = ас/св = 2/3

ао+ов = с                           тогда:   ао = 3с/5,   ов = 2с/5

проведем ом перп ас,   ом - искомый радиус полукруга.

из пр.тр. аом:

r = ao*sin a = (3c/5)*(кор15)/8 = (3с*кор15)/40.

ответ: r = (3с*кор15)/40.