Из одной вершины ромба проведены две высоты и диагональ. Найдите угол между
этими высотами, если одна из них в два раза
меньше данной диагонали.

треугольник ова и треугольник оас - прямоугольные ( касательная перпендикулярна радиусу)

треугольник аво = треугольнику оас( по гипотенузе оа и во+ос= r), в равных треугольниках все элементы равны, значит ас=12.

по тереме пифагора найдем оа= корень квадратный из 12 в квадрате минус 9 в квадрате = 3 корня из 7

решение: пусть abcd - данный ромб, тогда его диагонали ac=30см, bd=40 см

пусть о -точка пересечния диагоналей ромба

диагонали ромба в точке пересения делятся пополам, поэтому

ao=1\2*ac=1\2*30=15 см

bo=1\2*bd=1\2*40=20 см

диагонали ромба персекаются под прямым углом

по теореме пифагора

ab^2=ao^2+bo^2

ab^2=15^2+20^2=625

ab=25 см

полупериметр ромба равен 2*сторона

полуперимтер ромба равен р=2*ав=2*25=50 см

площадь ромба равгна половине произведения диагоналей

площадь ромба равна s=1\2*ac*bd=1\2*30*40=600 см^2

радиус окружности вписанной в ромб равен r=s\p

радиус окружности вписанной в ромб равен r=600\50=12 см

ответ: 12 см

угол между векторами находится след образом:

cosa=ab/(|a|*|b|)

1)|2a-5b|=17

возведем в квадрат:

4а^2-20ab+25b^2=289

2)расскроем скобки в скалярном произведении:

6a^2-5ab-6b^2=42

умножим на 4 обе стороны:

24a^2-20ab-24b^2=168

3)от верхнего уранения отнимем нижнее:   49b^2-20a^2=121

49b^2=441

b^2=9

|b|=3

нашли длину вектора b.

тперь чтобы найти скалярное произведение векторов а и b, подставим квадрат длин векторов на   итог 1ого уравнения:

4*16-20ab+25*9=289

под 20ab нельзя подставлять значения модуля a и b

найдем аb:

64+225=289+20ab

ab=0

тогда cosa=0/12=0

следоватьно вектора перпендикулярны и угол между ними равен 90 градусов

решение: z1-центр тяжести 3a, 5b, 5d

точка о - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5b,5 d по правилу рычага.

значит

z1-центр тяжести 3a, 10o

az1 : z1o=10: 3

az1 : ao=10: 13

oz1: ao=3: 13

az1: ac=10: 26=5: 13

причем точка z1 лежит на отрезке oa

z2-центр тяжести 5b, 1c, 5d

точка о - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5b,5 d по правилу рычага.

значит

z1-центр тяжести 1c, 10o

cz2 : z2o=10: 1

cz2 : co=10: 11

cz2: ac=10: 22=5: 11

причем точка z2 лежит на отрезке oc

z-центр тяжести 3a, 5b, 1c, 5d

точка о - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5b,5 d по правилу рычага.

точка k - центр масс точек 1c,3a, она дежит на отрезке ас, причем

ак: кс=1: 3

ак: ас=1: 4

точка z - центр тяжести 4k, 10o

zk: zo=10: 4=5: 2

zk: ko=5: 7

zk: ao=5: 14

oz: ao=9: 14

zk: ac=5: 28

az: ao=12/14=6/7

oz: ao=1/7

по теореме косинусов

cos (abd)=(-ad^2+ab^2+bd^2)/(2*ab*bd)

cos (abd)=(-6^2+5^2+4^2)/(2*4*5)=5/40=1/8

ао^2=(ab^2+bo^2-2ab*bo*cos(abd))=

=(4^2+2.5^2-2*4*2.5*1/8)=19.75

ac=2ao=2*1/2*корень(79)=корень(79)

z1z2=ac-az1-cz2=(1-5/13-5/11)*корень(79)=

=23\143*корень(79)

z1z=ao-oz1-az=(1-3/13-1/14)*корень(79)/2=127/364*корень(79)

з.ы.вроде так