На равных AB и BC сторонах равнобедренного треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABP и BCQ. Докажите, что P Q⊥BD, BD — биссектриса треугольника.

теорема косинусов. квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.тогда пусть третья сторона - х

по теореме имеем

х^2=8^2+15^2-2*8*15*cos(120)=64+225-2*8*15*(-0.5)=289+120=409

следовательно х=корень из 409

также есть теорема стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.

так как сумма углов в треугольнике равно 180 градусов то третий угол равен 60-

abcd - трапеция. основание трапеции ad равно диаметру описанной окружности, ao=od=13 см   .

треугольник acd прямоугольный, в нём ad=26 см, cd=10 см, по теореме пифагора найдём ас.  . ответ: ac=24 см

в дальнейшем пригодится скалярное произведение p"q" = |p"|*|q"|*cosa =

= 1*3*(-2/3) = - 2.

пригодится и иллюстрация: p" и q" образуют тупой угол, cos которого равен (-2/3). достроив до параллелограмма, соседний ( острый) угол имеет cos, равный 2/3. теперь из соображений можно посчитать модули векторов a" и b".

используя теорему косинусов: (для модулей)

a^2 = (3p)^2 + q^2 + 2*3p*q*2/3 = 9 + 9 + 12 = 30,  |a| = кор30.

b^2 = (xp)^2 + (2q)^2 - 2*xp*2q*2/3 = x^2 - 8x + 36. |b| = кор(x^2 - 8x + 36)

теперь мы подготовлены, чтобы составить скалярное произведение векторов a" и b".

a"b" = (3p-q)(xp+2q) = 3xp^2 - 2q^2 + qp(6-x) = 3x  - 18 -2(6-x) = 5x - 30. (1)

с другой стороны:

a"b" = |a"|*|b"|*cos()/606))=

= ( кор30)*кор(x^2 - 8x + 36)*(-11кор3030)/606)                                                                          (2)

приравняв (1) и (2), получим:

(х-6)/(кор(x^2-8x+36))  =  (-11) / (кор101).  видим, что х < 6

перемножаем по диагонали пропорцию, возводим в квадрат и приводим подобные члены:

5x^2 + 61x + 180 = 0,  d = 121

x1 = (-61+11)/10 = -5,

x2 = (-61-11)/10 = -7,2

ответ: -7,2;   -5.

б) наверное надо вычислить скалярное произведение: (хотя может и нет)

(2b-a)(2a-b) = - 2b^2 - 2a^2 + 5 ab

воспользуемся итогами предыдущего пункта:

a^2 = 30

b^2 = x^2 - 8x + 36 = 101 (при х = -5)

ab = (a"b") = 5x-30 = -55

тогда получим:

(2b-a)(2a-b) =- 202 - 60 - 275 = -537

противоположные углы параллелограмма равны, поэтому

угол а = углу с = 142°/2=71°

угол b = углу d = (180°-71°)=109°