В треугольнике ABC выполнены соотношения AB=9, BC=21, CA=15, ∠A=120∘. Найдите длину отрезка AI, где I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

3  21/128 или прибл.=3.16

Объяснение:

Проведем биссетрису АР , Р точка пересечения биссектрисы со стороной ВС.

Пользуясь теоремой о биссектрисе  (1)

АВ/AC=BP/PC

Найдем ВР и РС

ВР=21:24*9=21*3:8

РС=21:24*15=21*5:8

Тогда длина биссектрисы находится по формуле:

АР²=АВ*АС-ВР*РС=9*15-21*3*21*5:8:8

АР²=2025:64

АР=45/8

Теперь проведем биссектрису ВК.  Точка пересечения ее с биссектрисой АР по условию задачи - I.

Pассмотрим треугольник ВАР. По уже упомянутой ранее теореме о биссектрисе (1) AI/IP=AB/BP

AI/IP=9/(21*3/9)=9*9/21/3=9/7  => AI/AP=9/16

Тогда AI= AP:16*9= 45*9/16/8 =3  21/128 или прибл.=3.16

решение: 1) треугольник abc подобен adc за двумя углами,

(угол acb=угол adc =90 градусов,

угол bac=угол dac).

по теореме пифагора ad=корень(ac^2-cd^2)= корень(3^2-2.4^2)=1.8

квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

cd^2=ad*bd, отсюда bd=cd^2\ad, bd=2.4^2\1.8=3.2

гипотенуза ab=ad+bd=1.8+3.2=5 см

по теореме пифагора катет bc=корень(ab^2-ac^2)=

=корень(5^2-3^2)=4 см

площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

s=1\2*ac*bc=1\2*3*4=6 см^2.

2) дополнив треугольник до параллелограмма,

проведя стороны bf|| ca, af|| cb

вектор cd=1\2*вектор cf=1\2*(вектор ca+ вектор cb)

3)радиус вписанного круга в прямоугольный треугольник равен половине от разницы( сумма катетов – гипотенуза)

r=1\2*(ac+bc-ab)

r=1\2*(3+4-5)=1

площадь круга равна sкр=pi*r^2

sкр=pi*r^2=3.14*1^2=3.14

x-y=40 |*2

2x+2y=360

2x-2y=80

2x+2y=360

4x=440

x=110°

110-y=40

-y=-70

y=70°

углы: 110°,110°,70°,70°