В треугольнике ABC выполнены соотношения AB=9, BC=21, CA=15, ∠A=120∘. Найдите длину отрезка AI, где I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

3  21/128 или прибл.=3.16

Объяснение:

Проведем биссетрису АР , Р точка пересечения биссектрисы со стороной ВС.

Пользуясь теоремой о биссектрисе  (1)

АВ/AC=BP/PC

Найдем ВР и РС

ВР=21:24*9=21*3:8

РС=21:24*15=21*5:8

Тогда длина биссектрисы находится по формуле:

АР²=АВ*АС-ВР*РС=9*15-21*3*21*5:8:8

АР²=2025:64

АР=45/8

Теперь проведем биссектрису ВК.  Точка пересечения ее с биссектрисой АР по условию задачи - I.

Pассмотрим треугольник ВАР. По уже упомянутой ранее теореме о биссектрисе (1) AI/IP=AB/BP

AI/IP=9/(21*3/9)=9*9/21/3=9/7  => AI/AP=9/16

Тогда AI= AP:16*9= 45*9/16/8 =3  21/128 или прибл.=3.16