Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC,
является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1
, если AA1 =6, AB=4.

(108/145)​

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

плоскостью α, содержащей прямую BD1 и параллельной прямой AC,

является ромб.  а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.  б) Найдите угол между плоскостями α и BCC1  , если AA1 =6, AB=4.

Объяснение:

а) Проведем а||АС, значит а параллельна диагональному сечению АСС₁А₁⇒ МК||АС.

По условию BMD₁К-ромб, значит D₁В⊥МК по свойству диагоналей ромба и МК||АС. Тогда по т. о 3-х перпендикулярах : если наклонная D₁В перпендикулярна прямой лежащей в плоскости АС , то и проекция DВ⊥АС ( прямой , лежащей в плоскости ). Получили , что в прямоугольнике АВСD диагонали  АС⊥DВ ⇒ АВСD -квадрат.

б)Проведем через М и К ( середины ребер)  плоскость β║(АВС) , получим точку Н  на ребре ВВ₁ , ВН=НВ₁=3 .

Пусть  НР⊥ВК,  т.к. МН⊥ВВ₁  ⇒ МР⊥ВК по т. о трех перпендикулярах⇒∠МРН-линейный угол данного двугранного.

ΔВНК -прямоугольный, ВК=√(16+9)=5.

ΔВНР≈ΔВНК ( по 2 углам общему и прямому) , значит сходственные стороны пропорциональны :  

НР:НВ=НК:ВК  , НР:3=4:5   , НР=12/5.

ΔМНР -прямоугольный , tg∠МРН=МН:РН ,  tg∠МРН=20/12=5/3

∠МРН=аrctg(5/3).

сторона вписанного в окружность правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, а сторона описанного вокруг окружности квадрата равна диаметру вписанной окружности: a = 2r = 2*8 = 16 (см).

пусть один из углов равен x, тогда второй (x-30) и третий (x+30). тогда

x+(x+30)+(x-30)=180

3x=180

x=60 - первый угол

60+30=90 - третий

60-30=30 - второй