1.Какая из перечисленных точек лежит в XOY:
а) A (3; 7;-5); в) C (3;0; 5);
б) B (2;-2;0); г) D (0;-1;2).

2. Точка M – середина отрезка AB. Найдите координаты точки B, если
A (4;-6; 2), M (5;-3;0).
а) B(6;0;-2); в) B(1;-3;-2);
б) B(7;-6;1);

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 3 см . Угол,
лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь проекции этого
треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости
проекции под углом 60 градусов .
а) 9/8 см^2 ; в) 4/5 см^2 ;
б) 8/9 см^2 ;

4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 6, проведены две
наклонные к плоскости под углами 45° и 30°. Найдите длины наклонных.
а) 6√2 и 8√2;. в) 4√2 и 8√2
б) 6√2 и 12;

5. Угол между векторами a и b равен 60°. Найдите абсолютную величину вектора 2 а - b , если |а|=4 и |b|=2.
а) 10; в) 5√2 ;
б) 2√13;

6. Найдите длину AK – медианы треугольника ABC, если A (7;5;-1),
B (-3;2;6), C (9;0;-12).

а) 3√6 ; в) 6;
б) 2√6 ;

7. Какой из данных углов наибольший, если A(2;0;1), B(0;-1;4), C(3;-1;-2),
D (0; 2;0).
а) ABC ; в) CDA;
б) BCD ; г) DAB​

дано. треугольник авс-равнобедр.

ав=ас, вм-медиана

док-ть. треуг. амд= тр. смд

док-во.

вм-медиана, а в равнобедренном треуг. медиана, проведенная к основанию, является и биссектрисой и высотой.

1.угол а=углу с, так как углы при основании равнобедренного треугольника.

2. мд-общая

3.вм-медиана, мд-продолжение, значит угол д состоит из двух частей угла 1 и угла 2, тогда угол один равен углу два (по вышесказанному)

значит, тр. амд=тр.смд (по стороне и прилеж. к ней углам.)

решение: найдем длины сторон и длины диагоналей по формуле расстояния отрезка, по по заданным координатам его концов.

d=корень ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2)

km= корень ((0-1)^2+(-6-0)^2+(0-1)^2)=корень(38)

mp= корень ((1-0)^2+(0-0)^2+(1-2)^2) )=корень(2)

pt= корень (())^2+())^2+(2-1)^2)= корень(38)

kt= корень (())^2+(-))^2+(0-1)^2)==корень(2)

kp= корень ((0-0)^2+(-6-0)^2+(0-2)^2)=корень(40)

mt= корень (())^2+())^2+(1-1)^2) =корень(40)

если противоположные стороны четырехугольника равны, то он параллелограмм(признак параллелограмма)

km=pt,mp=kt, значит kmpt является паралелограмом

если диагонали параллелограмма равны, то он прямоугольник (признак прямоугольника)

kp=мt, значит kmpt является прямоугольником. доказано.

если с - искомая точка на оси оу, то ее координаты  (0, у, 0)

i ac i² = (0 - 4)² + (y - (-1))² + (0 - 3)² = 16 + y² + 2 * y + 1 + 9 = y² + 2 * y + 26

i ac i² = (0 - 1)² + (y - 3)² + (0 - 0)² = 1 + y² - 6 * y + 9 + 0 = y² -  6 * y + 10

отже    y² + 2 * y + 26 = y² - 6 * y + 10 ,  звідки  у = -2

отже, шукана точка  с = (0; -2; 0)

пусть проекция первого катета на гипотенузу равна х, тогда гипотенуза равна х+16.

квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию на гипотенузы.

х(х+16)=15^2

x^2+16x-225=0

d=256+900=1156

x1=(-16-34)/2< 0 - не подходит, длина отрезка не может быть отрицательным числом

х2=(-16+34)/2=9

гипотенуза равна 9+16=25

второй катет равен корень(25*16)=5*4=20

радиус окружности, вписанной в прямоугольной треугольник равен

к=(a+b-c)/2.

a=15,b=20, c=25

r=(15+20-25)/2=5

ответ: 5