На рис 39 abcd прямоугольник, bm=cn. Докажите, что треугольник akd - равнобедренный

у рівнобедр. трикутнику вд-є і висотою,і медианою за теоремою, отже ад=дс. маємо у трикутниках адк і сдк спільну сторону кд, ад=дс, кут між ними кут адк=кут кдс= 90 тому,що   кд- продовження вд-висоти.

отже трикутникадк=трикутнику сдк за теоремою рівність трикутників за 2 сторонами і кутом між ними. отже і сторони ак=кс

                      в         

                      / \                 

                    /    \

          а        /  д        ну эта типа ромбик такой ровненький

                    \        / 

                    \      /              

                      \  /             

                          с          

1)предположим что авсд у нас ромб, тогда вд//ас, а ад является секущей этих прямых=> угол адс=углу вад=50 градусам,   угол вда= углу сад=50 градусам.

2) рассмотрим треугольник авд и треугольник дса

    в них: угол адв= углу дас=40 градусам   \

              угол вад= углу адс =50 градусам   \ => наше предположение        

              угол в= углу с                                 \верно, и треугольники равны

по формуле s=pr, где p - полупериметр, а r - радиус вписанной окружности, вычислим р:

р=84: 7=12 (см)

следовательно, периметр равен 12*2=24(см)

решена. 

из свойств медианы треугольника, имеем

mb=(1/2)*sqrt(2*(a^2+c^2)-b^2)

в нашем случае

a=2*sqrt(97)

b=20

mb=12

тогда

12=(1/2)*sqrt(2*(388+c^2)-400)

24=sqrt(2*(388+c^2)-400)

24=sqrt(376+2c^2

576=376*2c^2

200=2c^2

c^2=100 => c=10

площадь треугольника находим по формуле герона

s=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c),

где

p=(a+b+c)/2

p=(10+20+2sqrt(97))/2=15+sqrt(97)

s=sqrt((15+sqrt(97))*(15+sqrt(97)-sqrt(97))*(15+sqrt(97)-10)*(15+sqrt(97)-20))=sqrt(15+sqrt(97))*15*(5+sqrt(97)*sqrt(97)-5))=

=sqrt(15*(15+sqrt(97))*(97-25))=sqrt(15*72*(15+sqrt(97))=sqrt(1080*(15+sqrt(97))