Знайти кількість сторін правильного многокутника, зовнішній кут якого на 108 градусів менший від внутрішнього.

пусть bh - высота

рассмотрим треугольник abh - прямоугольный

bh = 12 см ( по теореме пифогора )

sabc = 1\2 * bh * ac = 108 см

p = 1\2  (a+b+c) = 24 см

r = s\p = 4.5 см

r = abc\4s = 9.375 см

p.s. если решения вам понятно, отметте его, как лучшие

сторону с определяем по теореме косинусов

с²  = a² + b² - 2 * a * b * cos c = 10² + 7² - 2 * 10 * 7 * cos 60o = 100 + 49 - 70 = 79

итак  с = √ 79. далее воспользуемся теоремой синусов 

sin 60o            sin a              sin c

= =

  √ 79                 10                      7

тогда  sin a = 10 * sin 60o / 79 = 5 * √ 3 /  √ 79 ≈ 0,9744

                    a = arscin 0,9744 ≈ 77o

                  sin b = 7 * sin 60o / 79 = 3,5 * √ 3 /  √ 79 ≈ 0,68

                    a = arscin 0,68 ≈ 43o

в возможны 2 варианта: когда вершина угла лежит на меньшей дугеи когда вершина угла лежит на большей дуге.

в первом случае треугольник оав будет равносторонним (все стороны равны по а), поэтому центральный угол равен 60°, а поскольку вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, то он равен 30°.

во втором случае центральный угол будет равен 360 - 60 = 300°, поэтому вписанный угол будет равен  300 / 2 = 150°.

пусть стороны основания параллелепипеда равны  a  и  b. тогда

о = a * b    √(a² + b²) * h = p.  a² + b² = p² / h²

a² + b² + 2 * a * b = (a + b)² = p² / h² + 2 * o

a + b = √ (p² / h² + 2 * o)

следовательно

sб = 2 * (a + b) * h = 2 * h * √ (p² / h² + 2 * o) = 2 * √ (p² + 2 * o * h²)