решить На рисунке 61 хорда CD пересекает диаметр AB в точке K, угол DEK = углу CFK = 90 градусов, угол DKA = 60 градусов, EF = 10 см. Найдите хорду CD

d₁²+d₂²=2(ав²+ад²)

d=√(2*(16+36)-64)=√40

решение.  обозначим трапецию как abcd. обозначим длины оснований трапеции как  a (большее основание ad) и b (меньшее основание bc). пусть прямым углом будет  ∠a.  площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна  s = ab  из вершины c верхнего основания трапеции abcd опустим на нижнее основание высоту ck. высота трапеции известна по условию . тогда, по теореме пифагора  ck2  + kd2  = cd2  поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то cd = a + b  поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка  ad = ak + kd.  величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник abck, то есть bc = ak = b,  следовательно, kd будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции kd = a - b.то есть  122  + (a - b)2  = (a + b)2  откуда  144 + a2  - 2ab + b2  =  a2  + 2ab + b2  144 = 4ab  поскольку площадь прямоугольника s = ab (см. выше), то  144 = 4s  s = 144 / 4 = 36  ответ: 36 см2  . 

биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. значит вм - тоже биссектриса. угол мвс = альфа/2. расстояние от точки м до ас есть радиус вписанной окружности. поэтому можно найти расстояние до любой стороны треугольника, например, - вс. опустим перпендикуляр из м на вс. получим отрезок мк. треугольник вмк - прямоугольный, гипотенуза вм = m, угол мвк = альфа/2. легко находим катет мк:

    мк = m*sin альфа/2 это и есть ответ.

1) угол асв = углу авс = 2* угол аск, где аск - искомый угол между биссектрисой ск и стороной ас.

пусть угол аск = х, тогда угол вас = 180 - 4х, угол асв = 2х.

по свойству внешнего угла треугольника:

128 = (180-4х) + 2х = 180 - 2х

2х = 52

х = 26 град.

2)  авс - прям. тр-ик. угол с = 90 гр. угол а = 42 гр. ск - биссектриса угла с.

угол вкс = ?

угол авс = 90 - 42 = 48 гр.

угол вск = 90/2 = 45 гр.

  тогда угол вкс = 180 - (48+45) = 87 гр.

ответ: 87 гр. 

3) проведем ск - высоту и см - биссектрису. угол ксм = ?

угол с = 180 - (55+75) = 50 гр

угол всм = уголс / 2 = 25 гр

угол вск = 90 - 75 = 15 гр ( из прям. тр-ка скв)

искомый угол ксм = всм - вск = 25 - 15 = 10 гр.

ответ: 10 град.