На рисунке 123 ∠ACB = 90°, ∠BAK = 90°, ∠CAB = 60°. Найдите угол AKB, если АС - 8 см, ВК = 32 см.
​

∠CAB = 60° значит ∠CBA = 30° значит AB=2AC=16см (по свойству прямоугольного треугольника)

ВК = 32 см (по усл), AB=16 см (по док. выше) значит ∠AKB = 30° ( по свойству прямоугольного треугольника).

надо построить на координатной плоскости указанный 4-х угольник. провести диагональ ас (она перпендикулярна оси ох, и длина ее равна 6). дополнительно провести перпендикуляр из точки в на ас   - получим отрезок вк, и из т.d - на ас, получим отрезок dm.

теперь: s = s(adc) + s(авс) = (1/2)ас*(dm+bk) = (1/2)*6*(5+5) = 30

ответ: 30 

биссектриса делит сторону на отрезки. пропорциональные двум другим сторонам. обозначим второй катет через  12 * х, а гипотенузу через  20 * х.

тогда по теореме пифагора

(20 * х)² = (12 * х)² + 32²

400 * х² = 144 * х² + 1024

256 * х² = 1024

х = 2

итак, второй катет равен 12 * 2 = 24 см, а площадь треугольника

s = (24 * 32) / 2 = 384 см²