К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 4 см, наклонная с плоскостью образует угол 45°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B. Расстояние от точки B до плоскости равно −−−−−−√ см.

т.к все рёбра пирамиды равны, то вершина проектируется в центр описанной около треугольника окружности. а центр описанной окружности возле прямоугольного треугольника лежит на   середине гипотенузы. пусть прямой угол с   катет ас=12 см угол в= 60 вершина пирамиды р . найдём гипотенузу   ав= 12\ sin 60= 12: на корень из 3 делённое на 2=24 : на корень из 3 см. тогда второй катет вс= 12* tg30= 12*1\ на корень из 3= 12 делить на корень из 3. найдём высоту пирамиды . пусть середина гипотенузы точка о тогда высота во в треугольнике оар ар=13 оа= 12 делить на корень из 3 ор= корню из 169- 144\3= 169-48 корню из 121 и равна 11 см. найдём объём ас*вс\2* ор*1\3   = 12*12\ корень из 3 *1\6*11= 264 делить на корень из 3. кв.см

δafc - равнобедренный так как af=fc, ac- основание. угол fca=уголcaf=40

найдем длину стороны ac: опустим высоту fh - в треугольнике  δafc

ac=2hc=2fccos40=1.53fc=1.53af - по условию

угол afc=180-40-40=100

угол bfc=180-100=80

δafb - равнобедренный так как  ab=af

то угол abf=80

угол авс=  abf=80 в 2 раза больше углаbca=  fca=40

площадь прямоугольного треугольника s=ab/2

a+b=23

a=23-b

s=(23-b)*b/2

(23b-b^2)/2=60

23b-b^2=120

b^2-23b+120=0

по теореме виета:

b1=15                b2=8

a1=23-15=8              a2=23-8=15

ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см.

по расширенной тееореме синусов

a\sin a=b\sin b=c\sin c=2*r

a=2*r*sin a

a=60 градусов

а=2*10*sin 60=10*корень(3)

сумма углов треугольника равна 180 градусов

третий угол равен c=180-60-15=105

площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними

s=1\2*a*b*sin c=1\2a*2r*sin b*sin c=a*r*sin b*sin c

s=10*корень(3)*10*sin 15*sin 105=50*корень(3)*sin 30=25*корень(3)

(воспользовались тригонометричискими формулами и двойного угла

sin(90+a)=cos a  2*sin a* cos a=sin (2*a)

sin 105=sin (90+15)=cos 15

2sin 15*cos15=sin 30)

ответ: 25*корень(3)