. Найдите радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника с основанием 12см, если медиана, проведенная к основанию, равна 8см ​

пусть авсd-равнобокая трапеция. проведём через вершину в прямую, параллельную стороне аd. она пересечёт луч dc в некоторой точке е. четырёхугольник авеd-параллелограмм. по свойству параллелограмма ве=аd. по условию ad=bc (трапеция равнобокая), значит, треугольник все равнобедренный с основанием ес.углы треугольника и трапеции при вершине с , а унлы при вершинах e и d равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей.поэтому угол аdc= углу bcd.ч.т.д. 

ad2+cd2=ac2, 1600+81=1681, ac=41см, r=a*b*c/(4*s), s=cd*ab/2=9*40/2=180 см2, r=41*41*80/(4*180)=1681/9 см, r=s/p, p=(41+41+80)/2=81 см, r=180/81=20/9 см

опустим высоты bk и cm на ad

ak+md=ad-bc=8-2=6

ak=md=6/2=3

(cm)^2=(cd)^2-(md)^2

(cm)^2=49-9=40

cm=sqrt(40)

(am)^2=ad-md=8-3=5

(ac)^2=(cm)^2+(am)^2

(ac)^2=40+25=65

ac=sqrt(65)

sin(a)=cm/ac=sqrt(40)/sqrt(65)=sqrt(8/13)

cos(a)=am/ac=5/sqrt(65)=sqrt(25/65)=sqrt(5/13)

если диагонали трапеции являются биссектрисами, то точка пересечения диагоналей - центр вписанной окружности. а если в 4-ник можно вписать окружность, то у него суммы длин противоположных сторон равны.

авсд - равноб. трапеция. ав = сд = с. основание вс = b = 3. основание ад = а. тогда имеем систему:

2с = а + 3,

2с + а + 3 = 42,    а = 18, с = 10,5

для нахождения площади необходимо знать высоту.

проведем высоты вк и см (обозначим h). тогда из равенства тр-ов авк и смд получим: ак = мд = (a-b)/2 = 7,5

из пр.тр. авк найдем высоту по теореме пифагора:

h = кор( 10,5^2  -  7,5^2) = кор54 = 3кор6

тогда площадь трапеции:

s = (a+b)*h /2 = (63кор6)/2    см^2.