8три окружности, радиусы которых 6 см, 2 см и 4 см, касаются друг друга внешним образом. найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.

а - центр окружности с радиусом 6 см

в -  центр окружности с радиусом 2см

с -  центр окружности с радиусом 4 см

в треугольнике авс:

ав = 6+2 = 8 (см)

вс = 2+4 = 6 (см)

ас = 6+4 = 10 (см)

используем различные формулы площади треугольника (р - полупериметр):

s = √(р(р-а)(р-b)(р-с)) = √(12(12-8)(12-6)(12-10)) = √(12*4*6*2) = 24 (кв.см)

s = аbс/(4r) = 8*6*10/(4r) = 120/r

120/r = 24

r = 120/24 = 5 (см)

соединим центры этих окружностей и получим треугольник, стороны которого равны сумме двух соответствующих радиусов:

а=2+4=6см

b=2+6=8см

с=4+6=10см

стороны треугольника, вершины которого являюстя центрами данных окружностей, уже известны. ясно, что окружность, радиус которой нужно найти, будет описанной около этого треугольника. радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

r=a*b*c/4s, где s-площадь треугольника. найдем s по формуле герона:

s=√(p(p-a)(p-b)(p- где р=(a+b+c)/2

p=(6+8+10)/2=12см

s=√(12*(12-6)(12-8)(12-10))=12*6*4*2=24см

r=6*8*10/4*24=5см

доказательство:

так как вс является биссектрисой, то угол свd = углу авс = 70 градусам.

угол авd = 70 + 70 = 140 градусов

рассмотрим прямые вd и ас и секущую ав.

углы сав и авd односторонние.

40 + 140 = 180 следовательно ас и bd параллельные прямые ( по признаку мараллельности прямых)

пусть abcs - данная трегольная пирамида, ее основание треугольник abc.

bs=as=cs=л

угол sak=угол sbk=угол sck=альфа

основание высоты пирамиды k- центр описанной окружности

тода высота пирамиды равна h=as*sin (sak)=л*sin альфа

радиус описанной окружности равен r=ak=as*cos(sak)=л*cos альфа

сторона правильного треугольника равна а=r*корень(3)=

корень(3)*л*cos альфа

площадь правильного треугольника равна s=а^2*корень(3)\4=

(корень(3)*л*cos альфа)^2*корень(3)\4=3\4*корень(3)*л^2*cos^2 альфа

обьем пирамиды равен 1\3*s*h=

1\3*3\4*корень(3)*л^2*cos^2 альфа*л*sin альфа=

л^3*корень(3)\4*cos^2 альфа*sin альфа