11 класс
дана пирамида sabc, в которой ab=ac=sb=sc=17, bc=sa=16. точки m и n—середины рёбер bc и sa

а) докажите, что отрезок mn является общим перпендикуляром к прямым bc и sa

б) найдите объём пирамиды abmn


, нужно, особенно буква а, как можно !

всем !

cos(b)=bh/bc => bc=bh/cos(b) => bc=4/cos(b)

с другой стороны

cos(x)=bh/ab => ab=bh/cos(x) = >   ab=4/cos(x)

по теореме пифагора

(ac)^2=(ab)^2+(bc)^2=16/(cos(b)^2+16/(cos(x)^2)

ac=4*sqrt(1/(cos(b)^2+cos(x)^2)

ac^2 + bd^2 = 2(ab^2 + bc^2)

100 + bd^2 = 2(25 + 49)

bd^2 = 48

bd = 4корня из 3

1. продолжим прямые ав и се. к - точка пересечения ав и се.

2. ав = вк - (по теореме фалеса)

3. рассмотрим четырехуг. вкеd

вк || ed, bd || ke ⇒ bked - параллелограм.

отсюда, dе = вк ⇒  dе = ав.

4. рассмотрим четырехуг. авеd.

ab||de, de = ab ⇒ abed - параллелограм.

5. так как у параллелограма противоположные стороны равны, имеем

ве = аd, что и требовалось доказать.

грань efkl куба представляет собой квадрат, образованный серединами сторон квадрата основания пирамиды. периметр данного квадрата - одна из составляющих линии пересечения пирамиды и куба. сторона куба равна половине диагонали основания пирамиды (например как средняя линия тр. авс) ef = (акор2)/2. p(efkl) = 4*ef = 2акор2.

еще линия пересечения будет содержать два отрезка по граням амв и вмс пирамиды, так как они перпендикулярны основанию. каждый из этих отрезков равен половине мв, как средняя линия соответствующего пр. тр-ка (амв или вмс): мв/2 = а/4

итак, выражение для линии пересечения:

l = p(efkl) + 2*mb/2 = 2акор2 + а/2 = а(4кор2   + 1)/2