Дан куб abcda1b1c1d1. o - точка пересечения диагоналей грани a1b1c1d1. докажите, что прямые ao1 и bd перпендикулярны. 12 !

a₁c₁ лежит в плоскости а₁в₁с₁, прямая b₁o пересекает эту плоскость в точке в₁, не лежащей на прямой а₁с₁, значит эти прямые скрещивающиеся.

аа₁║сс₁ и аа₁ = сс₁, аа₁⊥а₁в₁с₁, а значит и а₁с₁, ⇒

аа₁с₁с - прямоугольник, ⇒ ас║а₁с₁.

тогда угол между прямыми ас и в₁о равен искомому углу между прямыми а₁с₁ и в₁о.

bd⊥ас как диагонали квадрата, ⇒ и во⊥ас,

во - проекция в₁о на плоскость основания, значит и в₁о⊥ас по теореме о трех перпендикулярах.

значит в₁о⊥а₁с₁.

так противоположные углы параллелограмма равны, то угол а = угол с = 40, угол в = угол д = 50. сумма углов параллелограмма равна 360 градусов. проверим: 2 * 40 + 2 * 50 = 80 + 100 = 180. значит, нет.

cos c= ac/bc; sin b=ac/bc; cos c = sinb. из треугольника авд найдем sin b

sinb=ad/ab= 12/20= 0,8 ( cosc=0,6)

sinc=\sqrt{1^{2}-0,6^{2} } =0,8

из формулы выведем

ас=12/0,8=15см (ас=15см)