Основания прямоугольной трапеции равны 10 см и 22 см, а большая боковая сторона 15 см. найдите площадь

к сожалению не проходят вложения. попробую на словах.

а) из т.к проведем отрезок кр // ас. тр. вкр подобен тр. авс

вк = ав/4 (по условию). значит кр = ас/4 = 15/4, вр = вс/4 = 7/4, но вl = 4,

lc = 3.   тогда рl = 4 - 7/4 = 9/4.

переходим к другой паре подобных тр-ов: kpl и lmc.

kp/cm = lp/lc   15/(4cm) = 9/(4*3)   отсюда:   см = 5. для нахождения последней стороны lm тр. lmc найдем cos lcm = - cosacb = 

= - (bc^2 + ac^2 - ab^2)/(2bc*ac) = - (225+49-260)/210 = 14/210 = - 1/15.

теперь по теореме косинусов найдем lm:

lm =кор(lc^2 + cm^2 - 2*lc*cm*coslcm) = кор(9 + 25 + 2*3*5*/15) = 6.

итак в тр-ке lmc известны все стороны:

mc = 5, lc = 3, lm = 6.   полупериметр: p = 7. площадь по ф. герона:

s = кор[7*(7-3)(7-5)(7-1)] = кор56. с другой стороны, s = pr, где r - радиус вписанной окр-ти .   r = (кор56)/7 = (2кор14)/7

ответ: r = (2кор14)/7.

б) найдем координаты точки о - центра вписанной окр-ти, поместив начало системы координат в т.а и направив ось х по ac.

т.о - точка пересечения биссектрис тр. lmc. проведем оn перпендик. см

оn = r = (2кор14)/7.

тр-к соn: сn = on/tg(lcm/2)     tg(lcm/2)= sinlcm /(1+coslcm) = 

=  (2кор14)/7.

тогда cn = 1.

итак точка о ( и весь вектор ао) имеет координаты (16;   (2кор14)/7)

длина вектора ао = кор[ 256 + 56/49] = (30кор14)/7

ответ: ао = (30кор14) / 7.

пусть х - одна часть в указанной пропорции.

х,2х,3х три последовательные стороны. четвертая в сумме со второй должна равняться сумме первой и третьей. (в описанном 4-нике суммы противоположных сторон равны).

значит стороны: х,2х,3х,2х.

х+2х+3х+2х = 24

8х = 24

х=3

длина наибольшей стороны: 3х = 9

ответ: 9 см.

авс,   из условия имеем ав = с, вс = с/2, ас = 3с/4.

найдем cos c:

cosc = (a^2+b^2-c^2) / (2ab) = (9/16   +   1/4   -   1)/(2*3/8) = - 1/4

(угол с - тупой).   тогда sin c = кор(1-cos^2 c) = (кор15)/4

по теореме синусов найдем sin a:

sin a = (a/c)sin c = (кор15)/8

  по свойству биссектрисы вн. угла тр-ка (со - биссектриса):

ао/ов = ас/св = 2/3

ао+ов = с                           тогда:   ао = 3с/5,   ов = 2с/5

проведем ом перп ас,   ом - искомый радиус полукруга.

из пр.тр. аом:

r = ao*sin a = (3c/5)*(кор15)/8 = (3с*кор15)/40.

ответ: r = (3с*кор15)/40.

1) сначала найдем катеты треугольника. пусть cd - середина стороны ас. тогда  сd = bc/2. согласно теореме пифагора

вс²+(bc/2)² =5*bc²/4=(3*√10)²=90 , откуда  вс²=72  и  вс=6*√2

тогда ав=вс*√2=12 см. треугольник амс - равнобедренный прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, угол сам = 45⁰.

следовательно ам=ас/√2=6 см и вм=6 см.

2) площадь трапеции  s = ас * bd / 2 = 10 * 24 / 2 = 120 cm²

сумма оснований - гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты  которого - диагонали трапеции.

она равна  √(10²+24²)=√676=26 см.

средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 26/2=13 см.

3) с одной стороны s = p * r , где р - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности.

с другой стороны  s = ac * h / 2.

поскольку отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне ас, то r = h / 3.

следовательно  р = 3 * ас / 2 = 1,5 см., а периметр треугольника - 3 см.