Решите в правильном тетраэдре abcd точка к является серединой ребра ас. найдите угол между прямой вк и плоскостью bdc

Определение 1:   правильный тетраэдр - это тетраэдр,   у которого все грани - правильные треугольники.   определение 2: угол между скрещивающимися прямыми  a  и  b  — это угол между пересекающимися прямыми  a′  и  b′, такими, что  a′  ||  a    и    b′||  b.  примем длину ребра тетраэдра   равной а.   проведем кm  ||  cd  угол кма - искомый.   кm - средняя линия треугольника bcd  ⇒  km=cd/2=a/2  dk=kb   соединим а и к.   ак и ам  -медианы ( и высоты) правильных   треугольников авd и авс  ак=ам=(а√3): 2  по т.косинусов  ак²=ам²+кm²-2*kм*aм*cos∠кма  ак²  -ам²-кm²  = -2*ам*км*cos∠кма  (a√3/2)²-(a√3/2)²-(a/2)²=  - a*(а√3): 2)*cos∠kma  -(а/2)²=- a*(а√3): 2)*cos∠kma=  а²/4= (а²√3): 2)*cos∠kma  cos∠kma=а²/4: (а²√3): 2  cos∠kma=1: (2√3)=√3/6≈0,2886  ∠kma=  ≈73º13'

сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равны

авсд -четырехугольник

ав+сд=вс+ад=12

r -радиус вписанной окр. с центром т.о

sаод=0,5*r*ад

sаов=0,5*r*ав

sвос=0,5*r*вс

sсод=0,5*r*сд

sавсд=sаод+sаов+sвос+sсод=0,5*r(ад+ав+вс+сд)=0,5*5(12+12)=60 см²

c=12, a=8

 

по теореме пифагора найдем второй катет

в=корень(c^2-a^2)=корень(12^2-8^2)=корень(80)=4*корень(5)

 

периметр 12+8+4*корень(5)=20+4*корень(5) см

ответ: 20+4*корень(5) см