Отрезок прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. (ответ: arccos (7/15))

Дана  правильная треугольная пирамида. примем ребро основания за 1.проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро. для правильной треугольной пирамиды центр основания совпадает с проекцией вершины на основание и точкой пересечения медиан основания (а также высот и биссектрис). заданный отрезок  прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра и равный стороне основания, - это медиана прямоугольного треугольника.поэтому боковое ребро как гипотенуза в 2 раза больше этого отрезка, то есть равно 2.проекция бокового ребра на основание равна (2/3) высоты основания или равно (2/3)*1*cos 30° = (2√3)/(3*2) =  √3/3. высота основания равна: h = a*cos30° =  √3/2. косинус угла  α наклона бокового ребра к основанию равен: cos  α = (√3/3)/2 =  √3/6. синус этого угла равен: sin  α =  √(1 - (√3/6)²) =  √(1-(3/36) =  √33/6. опустим перпендикуляр из середины ребра основания на боковое ребро. это будет высота h в равнобедренном треугольнике сечения, перпендикулярном боковому ребру. угол между его боковыми сторонами и будет искомым углом  β между смежными гранями. высота h сечения равна произведению высоты основания на синус  α. h = (√3/2)*(√33/6) =  √99/12 =√11/4. боковые стороны в треугольника перпендикулярного сечения равны: в =  √((а/2)² + h²) =  √((1/4) + (11/16)) =  √15/4. искомый угол  β между гранями находим по теореме косинусов: cos  β = (√15/4)² + (√15/4)² - 1²)/(2*(√15/4)*(√15/4)) = 14/30 = 7/15. этому косинусу соответствует угол  1,085278 радиан или 62,18186°.   этот же угол можно было определить через двойной угол, тангенс которого равен отношению половины стороны основания к высоте h. β = 2arc tg((1/2)/(√11/4)) = 2arc tg(2√11/11).

pk и pm прямоугольный треугольник pmk

из него

sin(pmk)=pk/pm => pm=pk/sin)\(pmk) => pm=37/sin(45°)=37*sqrt(2)

mk=pk=37

1)по теореме напротив угла 30 грю лежит катет, в 2р. меньший, чем гипотенуза. значит, ас=5см.

1)поэтому радиус должен быть 5см

2)-