Вправильной усеченной четырехугольной пирамиде площадь верхнего основания равна 50 , а площадь нижнего основания 200. какова поверхность сферы , вписанной в эту пирамиду ?

а=5sqrt(2)

b=10sqrt(2)

a+b=15sqrt(2)

h^2=15^2/2-5^2/2=200/2=100

h=10=d

r=5

s=4пr^2=100п

решение и объяснение.

чтобы ответить на вопрос следует найти радиус сферы.он равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение пирамиды, стороны которого параллелльны сторонам оснований пирамиды. это сечение - равнобедренная трапеция.сделаем рисунок.

вспомним, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противолежащих сторон равны.следовательно, сумма апофем ( боковых сторон ав и сд трапеции авсд) равна сумме сторон оснований пирамиды ( оснований ад и вс трапеции) основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды - квадраты.

на рисунке 1площадь меньшего основания s₁ =50вс   равна   всем   сторонам верхнего основаниявс²=50вс=√25*2=5√2площадь большего основанияs₂=200ад равна всем сторонам нижнего основания. ад²=200ад=√100*2=10√2

рассмотрим рисунок 2ав+сд= вс+ад=5√2+10√2=15√2сд= 15√2: 2=7,5√2радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты   ( соответственно радиус вписанной в усеченную пирамиду сферы равен половине высоты пирамиды).расстояние нд = полуразности оснований и равно (ад-вс): 2нд=(10√2-5√2): 2=2,5√2сн²=сд²-нд²=112,5-12,5=100сн=10 r=10: 2=5формула площади сферы s=4πr²s=4π25=100π

по теореме пифагора l*l=3*3+4*4=25

                                l=5м

l*l-следует писать   l в квадрате

c=12, a=8

по теореме пифагора найдем второй катет

в=корень(c^2-a^2)=корень(12^2-8^2)=корень(80)=4*корень(5)

периметр 12+8+4*корень(5)=20+4*корень(5) см

ответ: 20+4*корень(5) см