Дан треугольник abc, известно, что ∡b=148°. в треугольнике проведены высоты am и cn. определи угол между ними.

ce=a см,cd=b см,a+b=31    a-b=3,a=3+b  3+b+b=31,3+2b=31,2b=28,b=28/2,b=14,a=3+14=17.ответ: ce=17см,cd=14см.

розвязок: нехай точка а – основа опущеного перпендикуляра.

довжина похилої за теоремою піфагора:

  bc^2=корінь(ab^2+ac^2)= корінь(12^2+5^2)= 13 см.

відповідь: 13 см.

площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

пусть одна диагональ равна 2х, другая равна 2у. в ромбе они перпендикулярны. значит из пр. тр-ка, составляющего четверть ромба по теореме пифагора имеем:

x^2   +   y^2 = 15^2 = 225                                                   (1)

сумма диагоналей ромба: 2(х+у) = 42   или х+у = 21

возведем в квадрат:   x^2 + 2xy + y^2 = 441                     (2)                                                 подставим     (1) в (2):

ху = (441-225)/2 = 108

площадь ромба:  

s = d1*d2 /2 = (2x)*(2y) /2 = 2xy = 216

ответ: 216 см^2.

согласно теореме синусов

  sin b              sin c            sin a

= =

      ac                  ab                    bc

тогда  ав = ас * sin с / sin b

треугольник авс - равнобедренный, поэтому

sin с = sin (π - 2*b) = sin 2*b = 2 * sin b * cos b

угол при основании равнобедренного треугольника всегда острый, поэтому

cos b = √(1 - sin²b) = √(1 - (3 * √ 23 / 16)²) = √(1 - 207 / 256) = √(49 / 256) = 7/16

тогда  sin c = 2 * sin b * 7/16 = sin b * 7/8 ,  следовательно

ab = ac * 7 / 8 = 16 * 7 / 8 = 14