Втетраэдре abcd ребро ad имеет длину 5, а все остальные ребра равны 4. а) докажите, что прямы ad и bc перпендикулярны. б) найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую ad и перпендикулярной bc.

А) перпендикуляр из b на ad попадает в середину e отрезка ad (следует из равнобедренности треугольника abd). по той же причине перпендикуляр из c на ad попадает в ту же точку e. значит, вся прямая bc лежит в плоскости, перпендикулярной ad⇒ bc⊥ad.   б) опуская перпендикуляры из a и d на bc, оба раза попадаем в середину f отрезка bc, поскольку треугольники bac и bdc равнобедренные (даже равносторонние).   значит, bc⊥плоскости afd, то есть afd - искомая плоскость. af=df=5√3/2; ad=4. найдя с теоремы пифагора высоту этого треугольника, опущенную из вершины f (h^2=(5√3/2)^2-2^2=59/4; h=(√59)/2; находим и площадь s=(1/2)·4·(√59)/2=√59

по уже готовой формуле , но только для правильных тр-ков - (а*корень3\6) находим радиус вписаного

r=4*3\6= 2 cm

v=4/3 *пи*r^3

  d1=4 cm, d2=6 cm

  r1=2 cm, r2=3 cm

 

v1=4/3*пи*2^3=32пи/3

v2=4/3*пи*3^3=108пи/3

 

v=v1+v2=32пи/3 +108пи/3=140пи/3

4/3*пи*r^3=140пи/3

r^3=140: 4

r^3=35

r=sqrt(3){35}

d=2r=2sqrt(3){35}