это простая , и не понятно, что тут объяснять про √3.
есть теорема синусов, из которой сразу следует, что сторона вписанного в окружность треугольника (для которого окружность радиуса r является описанной) равна
a = 2*r*sin(60) (если хочется, то это то же самое, что a = r√3)
теперь надо сообразить, что центры вписаной и описанной окружностей в правильном треугольнике с точкой пересечения медиан, и радиус описанной окружности - это отрезок медианы (любой) от вершины до точки пересечения, а радиус вписанной окружности - это отрезок медианы (высоты, биссектрисы, это одно и то же в правильном треугольнике) от точки пересечения до высоты. точка пересечения медиан делит из на отрезки в отношении 2/1, то есть в правильном треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности.
отсюда для стороны описанного вокруг окружности треугольника b справедливо
b = 2*r1*sin(60), где r1 - радиус описанной вокруг внешнего треугольника окружности. как я только что показал, r1 = 2*r (это тот самый r, который надо найти, потому что для внешнего треугольника окружность радиуса r - вписанная).
получается
b = 4*r*sin(60) = 2*a.
то есть разность длин сторон равна длине стороны внутренного треугольника и половине стороны внешнего. а разность периметров равна периметру вписанного треугольника, конечно. чтобы получить сторону меньшего треугольника, надо просто эту заданную разность периметров поделить на 3.
это все.
хотя соотношение b = 2a можно показать и "чисто" .
дело в том, что вписанная во внешний треугольник окружность пересекает медианы посередине между вершиной и центром. то есть сторона внутреннего треугольника - это средняя линяя в треугольнике с вершиной в центре окружности и стороной внешнего треугольника в качестве основания. чтд.
само решение простое -
18√5/3 = a = r√3; r = 2√15;
насчет формул. - это наука, построенная на логике и воображении, поэтому "формулы" являются всего лишь инструментом, причем второстепенным.
Популярные вопросы