Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см. якою найбільшою може бути площа трикутника?

Площадь прямоугольного треугольника максимальна при одинаковой величине гипотенузы, когда острые углы равны по 45 градусов. катеты равны по 10*(√2/2) = 5√2. максимальная площадь равна sмакс = (1/2)*(5√2)² = 50/2 = 25 кв.ед. это доказывается так: пусть катеты равны х и у. по пифагору 10² = х² + у². отсюда у =  √(100-х²). функция площади s = (1/2)x* √(100-х²).найдём производную и приравняем нулю.s' = (50-x²)/√(100-x²) = 0. для дроби достаточно приравнять нулю числитель (если знаменатель не равен 0).50-х² = 0. х =  √50 = 5√2, у при этом равен  √(100-(5√2)²) =  √(100-50) =  √50 = 5√2. то есть при равенстве катетов, при этом острые углы треугольника равны по 45 градусов.

Трапеция абцд. опускаем из точек б и с перпендикуляры бк и це на большее основание. получаем отрезок ке=бц=16. еще у нас получилось 2 равных прямоугольных треугольника, у которых известна гипотенуза (она же боковая сторона трапеции равная 15) и катет (он же высота, равная 9). по теореме пифагора находим неизвестный катет. ак^2=аб^2-бк^2=225-81=144, ак=12. складываем из "кусочков" большее основание ад=12+16+12=40. ответ: большее основание ад=40

пусть b-второй катет, c-гипотенуза.

воспользуемся теоремой синусов.

a/sin альфа=b/sin бетта=c/sin гамма

т.к. против гипотенузы лежит угол 90 градусов, значить угол гамма =  90 градусов.

из  a/sin альфа=c/sin гамма выразим гипотенузу c=a*sin альфа/sin гамма=14*0,67/1=9,37

острый угол бетта = 180-(90+42)=48 градусов

из  b/sin бетта=c/sin гамма  выразим катет b=с*sin бетта/sin гамма=6,96