Как найти площадь полной поверхности икосаэдра через описанную ( вписанную? ) окружность, зная, что сторона грани (а) = 4 см?

средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна ее половине. 

значит, стороны нового треугольника равны:

6: 2=3 (м)

9: 2=4,5 (м)

13: 2=6,5 (м) 

док-во:

1)треугольник авс-равнобедренный (по условию), значит ав=вс(по определению равнобедренного треугольника), ае=сф(по условию), значит ве=вф. вд-общая сторона, вд-является также биссектрисой угла в (по св-ву равнобедренного треугольника), значит угол евд= углу двф, следовательно треугольник евд= треугольнику двф ( по 1 признаку,т.е. по двум сторонам и углу м/у ними).

2)т.к. треугольник авс-равнобедренный (по условию), то угол а= углу с ( по св-ву равнобедренного треугольника, что углы при основании равны), ае=фс (по условию), ад=дс (т.к. вд-медиана), следовательно треугольник аед=дсф(по 1 признаку). 

δgsn=δhrn ( по двум сторонам и углу между ними gn=nh , sn=nr угол hnr= углу gns как вертикальные )  ⇒ в равных  δ против равных углов лежат равные стороны т.е rh=gs = 11.5 см

пусть sabcd - данная пирамида с вершиной s. основание abcd - есть квадрат, т.к. пирамида правильная. so- высота пирамиды, se - ее апофема или высота боковой грани sdc. треугольник soe - прямоугольный, ое = se*cosa = 1*cosa = cosa.

ое - радиус вписанной в квадрат(основание пирамиды) окружности. сторона основания ad = 2r = 2cosa.

тогда площадь основания равна (2соsa) в квадрате или 4cos в квадрате а