Втреугольник со сторонами 20, 34 и 42 вписан прямоугольник с периметром 40 так что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. найти стороны прямоугольника ,

пусть ав=20 вс=34 ас=42

пусть н - основание высоты, опущенной из точки в на ас, то есть вн - высота. тогда:

ан^2+bh^2 = 20^2;

ch^2+bh^2 = 34^2;

ch+ah = 42;

из первых двух уравнений имеем

34^2-20^2 = ch^2 - ah^2;

отсюда 756 = 42*(сh - ah);

ch-ah = 18;  

теперь уже совсем легко ch=30 ah= 12 bh=16; нашли высоту и как её основание делит противоположную сторону. если рассмотреть треугольник, образованный сторонами ав вс и верхней стороной вписанного прямоугольника (паралельной ав), то он совершенно : )   подобен авс. в том числе высота вн делит его основание в той же пропорции 12/30, то есть 2/5. то есть отрезку ан =12 соответствует 2/7 верхней стороны прямоугольника.  

если обозначить стороны прямоугольника за х и у, то из подобия треугольников следует,что 

(16-x)/(2*y/7) = 16/12;

ну, и 2*(х+у) = 40; (по условию, периметр прямоугольника)

кстати, получается говорящее соотношение 1 = x/16 + y/42; интересно, можно ли его сразу увидеть? в любом случае, дальше элементарно.

x+y = 20;

21*x+8*y = 336; (просто помножил 1=х/16+y/42 на 336)

336 = 21*x + 8* (20-x); 176 = 13*x; x = 13+7/13; y = 6+6/13; кривой какой-то ответ : (

sin a=cb/ab

cb=sqrt(ab^2-ac^2)=sqrt(30^2-(3sqrt19)^2)=sqrt(900-9*19)=

=sqrt(900-171)=sqrt(729)=27

sina=27/30=9/10=0,9

площадь правильного треугольника находится по формуле

s=v3*a^2/4

9v3=v3*a^2/4

a^2= 9v3*4/v3=36

a=6   cм - образующая и диаметр (= друг другу и = 6 см)

sбок=пdl/2=п*6*6/2=18п (кв.см)

для нахождения объема необходима высота h

h^2=6^2-3^2=36-9=27

h=3v3 

v=sосн*h/3=п*d^2*h/12=п*6*6*3v3/12=9v3п (куб.см)

v-корень, v  - объем, п-это пи