Втреугольнике abc биссекстрисы внутреннего угла a и внешнего угла при вершине c пересекаются в точке d, причём /_ adc = 20. найдите угол abc

Δавс .биссектрисы   ad  ∩  dc=d.   пусть ad  ∩ bc=m . обозначим : т.к. ad - биссектриса ,то  ∠ bam =  ∠mac  =  α ;                       ∠bcd =  ∠ dce =  β   ( се - прдолжение стороны ас)                       ∠ acb =  ω     ;   ∠ adc = 20° ( по условию ) при решении используем свойства углов треугольника :   1)в любом треугольнике сумма внутренних углов = 180°   и 2) внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних , не смежных с ним..   1 .)δ авс :   ∠а= 2  α ,   ∠асв =  ω ,  ∠ авс = х ( его надо найти по уловию)   2 )δ dmc :   ∡ mdc=20° ,  ∠bcd =  β   3 )∠внешний  ∠все = 2  β   -     cd - биссектриса  ∠все 4/   углы     ∠асв   и  ∠все   - смежные.   1)δ авс :   2  α  +  ω  +  х =  180°   2)  δ dmc :   20° +  β+  ∠ dmc = 180°     ⇒     ∠dmc = 180°- (20°+  β )        3)  ∠bce =∠cab +∠abc  ⇒ 2  β = 2  α +x     ⇒   x = 2  β  - 2  α = 2 (β -  α ) 4)  ω + 2  β = 180° δаdc : сумма углов : 20°+α + (β+ω)=180°                                       20°+  α +  β + 180°-2β=180°                                         20° +α   -  β =0     ⇒   β -  α =20°   но   х= 2 (β -  α)  ⇒   х= 2 (20°) = 40  °                                                                 ответ :   ∠авс =40°

из треугольника abc

сos(a)=ac/ab

ac=ab*cos(a)=12*cos(60)=12*(1/2)=6

 

из треугольника acd

sin(a)=cd/ac

cd=ac*sin(a)=6*sin(60)=6*sqrt(3)/2=3*sqrt(3)

1)рассмотрим треугольник   aed

угол aed=120,следовательно остальные 2 угла равны (180-120)/2=30 градусов(т.к. треугольник равнобедренный)

2)т.к. проведены биссектрисы,то углы при основании равны 30*2=60 градусов

3)третий угол равен 180-60-60=60 градусов

ответ: 60,60,60