Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30 градусов, а прилежащий к нему катет равен 3 см. найдите медиану этого треугольника, проведенную к гипотенузе.

Тут такая штука: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине этой самой гипотенузы. значит, наша проблема: найти гипотенузу и разделить её пополам. теперь про 30°. катет , лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. пусть этот катет = х, тогда гипотенуза = 2х. второй катет = 3см. составим т. пифагора: 4х^2 - x^2 = 9 3x^2 = 9 x^2 = 3 x =  - это половина гипотенузы. ответ: медиана = 

т. к. mn и mk касательные, то углы n=k=90 градусов

рассмотрим треугольники onm и okm

в них уг.n=уг.k=90

om-общая=13см

no=ok=5см

следовательно по теореме пифагора nm= корень квадратный из разности om в квадрате и on в квадрате=12см

km находится аналогично =12см

вас = 60 гр. ао - биссектриса, о - центр впис. окр-ти. в и с - точки касания.

пусть точка к прин окр-ти и: км перп ас, км = 1, kn перп ав, kn = 4

в прямоугольной трапеции сокм: ос = ок = r, км = 1

проведем высоту кр на основание ос. ор = ос - км = r - 1

тогда из пр. тр-ка кор:

кр = кор(ок^2 - op^2) = кор(r^2 - (r-1)^2) = кор(2r-1).

кр = см = кор(2r-1).

ам = ас + см = rкор3 + кор(2r-1) (т.к. ас = r/tg30   из тр. аос)

теперь проведем ак.

из тр. акм :   ak = 1/sina, где а - угол кам

из тр. nak :   ак = 4/sin(60-a)

приравняв, получим:

sin(60-a) / sina = 4, или раскрыв синус разности и поделив почленно:

(кор3)ctga - 1 = 8     ctga = 3кор3

но из тр-ка акм:

ctga = am/mk = rкор3 + кор(2r-1)

приравняем и получим:

(3-r)кор3 = кор(2r-1).   1< r< 4

3r^2 - 20r + 28 = 0     d = 64   r = 2 (другой корень > 4)

ответ: 2