30 на рисунке 147 прямые m и n -серединные перпендикуляры сторон ab и ac треугольника abc .докажите что точка о равноудалена от всех вершин данного треугольника

  проведём серединные перпендикуляры к сторонам  ab   и  ac   треугольника  abc . они пересекаются, так как перпендикулярные им прямые  ab   и  ac   пересекаются.    пусть  o   – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам  ab   и  ac . тогда по свойству серединного перпендикуляра к отрезку  oa = ob  и   oa = oc,  поэтому   ob = oc .  значит, точка  o   лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  bc , то есть серединный перпендикуляр к стороне  bc   также проходит через точкуo .

пусть в треугольнике авс стороны вс=a, ас=b,ав=с, тогда a: b: c=4: 5: 6.

пусть х-это одна часть. a=4x, b=5x, c=6x

mk, kn, mn - это среднии линии треугольника, причем условимся, что mk||b, kn||c, mn||a.по определению средней линии треугольника: mk=1/2b=2,5x,

kn=1/2c=3x, mn=1/2a=2x, по условию знаем, что периметр треугольника, образованного средними линиями треугольника равен 30см.

2,5х+3х+2х=30

7,5х=30

х=4

значит mk=2,5*4=10см, kn=3*4=12см, mn=2*4=8см

 

решение: площадь любого паралелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними,

синус лежит в перделах от 0 до 1 для углов от 0 до 180 градусов,

наибольшее значение 1 он прнимает когда угол равен 90 градусов,

параллелограм, диагонали у которого диагоанли перпендикулярны(угол между ними равен 90 градусов) является ромбом.

следовательно из всех пааралелограмамов с данными диагоналями наиибольшую площадь имеет ромб. доказано